I ) = lim —r- ; , — , (pour m

C'est précisément la formule (iS) dans le cas de ^ entier, ol l'on en déduit sans difficulté la formule (aS).

Dans les recherches qu'il a entreprises sur cet objet, Gauss a pris la formule (aS) pour l'expression générale de la définition der{^), et M. Liouville, adoptant ensuite le même point de vue, est parvenu à plusieurs résultats intéressants (*) ; on voit, par ce qui précède, combien celte marche est naturelle. D'après l'analyse que nous avons développée, le second membre de la formule (23) est une série qui reste convergente par toutes les valeurs positives de x, et par conséquent dans la même hypothèse le second membre de la formule (sS) tend vers une limite déterminée. Mais pour justifier la nouvelle définition des fonctions r, il est nécessaire d'établir que la même chose a lieu pour toutes les valeurs négatives ou imaginaires dex. On voit d'abord sur la formule (25) que T{x) est infinie lorsque x est égal à zéro ou à un nombre entier négatif quelconque; ce cas étant mis de côté, je dis que la série de la formule (28) est toujours convergente. En effet, le terme général dans lequel on suppose /w supérieur au module de ^ — I, est

,1 I \ r.r— I (jr — ly

(a: — Il h • ■ . —

ou

£,„ désignant une quantité qui s'annule pour m = co ; il résulte de là qu'à partir d'un rang suffisamment éloigné, les termes de

ia série ( 23) décroissent comme les termes de la série ^ — ,;

donc celle série est toujours convergente, et par suite le second membre de la formule (25) tend vers une limite finie et déterminée.