Démonstrations nouvelles des propriétés de la fonction
(*) Voir sur cet objet une Note de ^I. Liouville, insérée au tome XVÎI du Journal de Malhéinatiques pures et appliquées.
r(^). Les propriétés de la fonction T établies plus haut découlent immédiatement comme on va voir de la formule (25).
Première propriété. On a
il .1. . .m) m'^ , , ^
d'où, en divisant,
cl, en faisant w ^ x , il vient
T [x -^ \)=^ xT{x),
ce qui est la première propriété de la fonction r.
Deuxième propriété. Si l'on multiplie entre elles les deux équations
il vient
si l'on fait /?i = co , le numérateur se réduit à x et le dénominateur à - sinTTjT, à cause de la formule connue
on a donc
SlïlTTX
SUR LES IXTÉGIIALES EULERIEXNES. 34 1
OU, en multipliant les deux membres de cette formule par ^,
(33) r(iH-^')r(i — x) =
sniTTO^-
Troisième propriété. La troisième propriété de la fonction r n'a été démontrée au n" 5 que dans un cas particulier, nous allons l'établir ici dans toute sa généralité.
Soient x une quantité réelle ou imaginaire quelconque, n et i deux entiers positifs; si dans la formule (24) on remplace .z par X -h 1 il vient n
^f '\ Cl. ?. . .m) m "
si l'on donne à i les n valeurs o, i , 2 , . . . , /2 — i , et que l'on multiplie entre elles les égalités résultantes, il vient
\ "/ V "/ V " y nx{nx^i)...{,ix-i-nin-\y -"
t„ désignant toujours une quantité qui s'annule pour m==:o . Mais l'équation (24) donne aussi, en remplaçant a: par nx, et écrivant nui au lieu de m,
, , (1.2. . mnYmn'f-^
des deux équations précédentes on tire
- ( 1 + im ),
{i.'i... mil) m '■"
Sm désignant encore une quantité qui s'annule pour m=z:c , La limite du second membre de cette formule est une fonction de n indépendante de x; en la désignant par o{n), on aura
(34) r(^)r(^^-4-^y(^xH--|)...r(^^-h^) = ;t-'-r(/Kr)?(n),
la fonction t^{n) étant définie par la formule
, , ,. ii.-i. . .mYn""'-*-' o[n)=:lim— — • (pourm = co).
(1.2. .. . mu) m ^ Si l'on fait
m on pourra écrire aussi
o [n) — v//i lim \'; '\ - = s/n A„ , i}» [mn)
en posant, pour abréger,
■]> [mn] on a aussi, en changeant m en ini,
•^[imn]
puis
. a;; ,. [Mm)Y ,. [-K^An)]" ,. \'-i{myY v [V"^<"
K—~=\\mfj-. — ^•limtj^ ^^hniUi — ' \ \\xrii^ ^^
A„ \^[mnY\ -blimn) L'^^v^'^jJ ■!^[imn)
mais les quantités lim -i-^ — 4- et lim ^ 4- sont égales a Aj;
■^[im) ■!^{'imn)
donc on a
A„=:A2~' et o(7i) = y'wAj"'; quant à la constante Aj, sa valeur est
a{l) ,. (1.2.3. ..770' 2"""^"^ .. 4 / ■ 2244 um — 1 Ï^T" A.= ^-^ = hin^^ — = lim V/ » 7 ô - I .
^/.^ i. V 13dD ^t77^ 12 777 — I
d'après le théorème de Wallis [voir page 78) la quantité sous
le radical a pour limite 4- ou 277; on a donc
sua LES INTEGRALES EULERIEXNES. 0-iJ
pur suite
et
(35) r(jr)rLr-4-- •••rLrn =^(2 71-)- n '^■r{nx).
Telle est l'équation qui exprime la troisième propriété de la fonction r; en y faisant n — a, il vient
Tlx)rix-i-~) =71^2-"+' r{^x),
ce qui s'accorde avec le résultat que nous avons obtenu au n°5.
La démonstration que nous venons de présenter de la formule (35) est directe et indépendante des autres propriétés de la fonction r. Pour déterminer la constante A:, on aurait pu se
servir utilement de la relation T{~\=z\Jr.; ainsi en faisant
a: = - et 7t = 2 dans la formule (34), on aurait eu
v/î7 = -o(2) =:-\/2A2, d'où A-,— v/2~,
comme nous l'avons trouvé autrement. Enfin on peut obtenir
très-simplement la fonction ^{n) comme le fait Legendre, en se
servant de la deuxième propriété des fonctions r; posons en
effet ^=::o dans la formule ( 34), après avoir remplacé r(:r) par
r(:c-M) , , T{nx-\-i) ., . , — et r(nx) par — '^ •? il viendra
ou, en renversant les facteurs,
344 NOTE SUK LES INTEGRALES EULERIEXXES.
inuhinlianl ces deux valeurs de - of/i), el observant nue
r ( - 1 r ( ) :=^ — '^7—-, on aura
\ ni \ n I . iT.
■' ^ ' sin —
sm - sin • sin ^^ —
mais on sait que le dénominateur de cette expression est égal
a — ■•> donc
çp'(n) = «(277)"-' et 9(/î)= V^«(2 7:) '•* ,
comme nous l'avons trouvé plus haut.
Pour compléter l'exposition de la théorie des intégrales eulériennes, il nous reste à faire connaître la formule deStirling, par laquelle on peut évaluer le produit I. 2.3. . .^ ou la fonction r(^ + i) quand x est un très-grand nombre. Celle importante question fera l'objet de la Note suivante.
SUR L'ÉVALUATION APPROCHÉE DU PRODUIT ; 2.3....r, LORSQUE X EST UN TRÈS-GRAND NOMBRE, SUR LA FORMULE DE STIRLING ET SUR LES NOMBRES DE BERNOULLI ( * ).
1. La formule de Stiiiing exprime, comme on sait, la somme des logarithmes des x premiers nombres entiers, ou plus généralement le logarithme de l'intégrale eulérienne de seconde espèce r(:i:-!-i), par le moyen d'une série essentiellement divergente, et qui cependant peut être employée avec avantage pour le calcul numérique. Cette formule remarquable a fait dans ces dernières années l'objet des recherches de plusieurs géomètres, parmi lesquels on doit citer Cauchy, Binet, M, Malmslen et M. Liouville.
Les démonstrations les plus simples de la formule de Slirling reposent sur la détermination préalable de la dérivée
^—) •> en sorte que l'intégration introduit une constante arbitraire dans l'expression de la fonction logr(a;-i- i). Pour déterminer celte constante, on peut employer divers procédés, et l'on y parvient, en particulier, en se servant delà formule connue de Wallis, comme l'ont fait Lacroix (p. 86) et M. Liouville. Or cette simple formule de AVallis suffit à elle seule pour établir complètement celle de Slirling, et la déduction est si facile, que la deuxième formule peut être regardée avec raison comme une transformée de la première; c'est ce que je me propose de faire voir dans cette Note.
(*) J'ai communiqué à l'Académie des Sciences, dans la séance du 2 avril 1860, les résultats que renferme la première par de de cette Note.
Lacuoix, Cale, diff., Il, 23
