SUR LA FORMULE D2 STIRLIXG, ETC

on aura aussi, en changeant x en ce -i- i, x -\- i,. . ., ix — i, et en désignant par S,, G^,..., Ô2^, des quantités comprises entre — i et + i.

y (^-h l) {x-i-iy f?{lX l) (2a:— 0=

En multipliant entre elles toutes ces équations et la précé dente, et en observant que la valeur absolue de la somme

6 6, Ojs-< . , I I

— -h : ; — -; + . . . + ; cst moindrc que — X ^ ou -»

on pourra écrire

étant une quantité comprise entre — i et + i; et si ^ devient infini, on aura

(4) f{^) = ' (POura; = x).

Si maintenant on divise l'équation (i) par l'équation (4), il viendra

(5) ff{x) = i (poura'=oo),

c'est-à-dire, à cause de la formule (2),

(6) 1 .2.3. . .X ^= S/2.7T e-'' X ''(i-f-Ej.),

en désignant par s^ une quantité qui s'annule pour ^ = co . 3. Posons, comme dans la Note précédente,

on peut obtenir très-simplement l'expression complète du produit r(^-f-i), ou, ce qui revient au même, celle du loga-

lilhme népérien logr(x4-i). On a d'abord, par la formule (2),

(7) logr(^4-i) = ^log^77 — ^+ (^"^^j loS-^-^*os<?(^)' et l'on a ensuite identiquement

logo (jrj^lojj P x -i-log^ -;-<-.■■-<- : ^'/ ^,T-logp(-r-T-m-:-i);

mais si l'entier m croît indéfiniment, (^{x -i- m-i-i) tend vers l'unité, d'après la formule (5), et son logarithme tend vers zéro; on a donc

log,(^)=^2)^^g ,(;. + ;n + .r

nj = o

OU, d'après la formule { 3 \ et l'on aura en conséquence

[' logr(x-hi)= - log2- — x-\-(a:-'r -] logo:

Cette formule, qui a été déjà rencontrée par Gudermann, se déduit presque immédiatement, comme on le voit, de la simple formule de Wallis.

4. Toute l'analyse précédente suppose que x est un entier positif; mais le second membre de l'équation (9) est une fonction dans laquelle x est susceptible de recevoir une valeur quelconque; en exceptant le cas où x est un entier négatif, la série qui figure dans la formule (9) est toujours convergente; car ses termes, comme il est aisé de s'en assurer.

décroissent comme ceux de la série 'X"",* Cela posé, je dis