SUR L^ FORMULE DE STIRLING^ ETC

que la formule (9) subsiste, quel que soil x, en se conformant à la définition générale que nous avons donnée de la fonction r. Cette définition est exprimée par la formule ( 23 ) de la Note précédente, qui donne, en remplaçant x par ^ + i et

écrivant, sous le signe ^^ m -}- i au lieu de m,

(.o) logr(.r+,)= 2 [^^«s(''"'"^)~^'K"^^)]*

Pour prouver l'identité des valeurs de logr(^ ~ i) données par les équations (9) et (10), il suffit de différentier deux fois ces équations; on tire de l'une et de l'autre

f/' logr(^H-i) 'T^ 1

dx'' ^ [x-^m-hif''

les seconds membres des formules (9) et (10) ont donc leurs secondes dérivées égales; en conséquence ils ne peuvent différer que par une fonction linéaire de x; mais comme ils sont égaux pour les valeurs entières et positives de x, il s'ensuit que leur différence se réduit nécessairement à zéro.

3. Il est facile d'exprimer la fonction log ? ( r ) par une intégrale définie. On trouve, en différentiant la formule (8) deux fois de suite,

(/ log t? (x) I

dx 2X

d^\og(o{x) I i ^ I

dx^ X n.x- ^ {x -\- m)'

Or on a,, pour toute valeur positive de r,

35o NOTE

si donc la variable x reste positive, on aura

d''\ogo{x)

dx'

mais la quantité ^ e ^'^ est égale à ^^; donc