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intégrant deux fois et observant que les fonctions logçp(.r) et
rflogtpf^) , , ...
j^ ■ s annulent pour x-=^:c , il vient
En portant cette valeur de log<5)(^) dans l'équation (7), on obtient une expression de log r{x-^\) qui a été obtenue par Cauchy et que j'ai donnée depuis dans la Note XIV de mon Algèbre supérieure.
6. On peut tirer de ce qui précède la formule de Stirling ; mais il est nécessaire pour cet objet de transformer la formule (n): nous nous servirons à cet effet des résultats obtenus dans la Note précédente. Nous avons trouvé l'équation
Slli-nx d'où
log r(i + ^)-f- logr(i — x) = logTT^ — logsinTT^,
et, en différentiant,
'd\og^{^-^x) </logr(i — x) I costtx
dx dx ~~ X " sin v: x •
^ ^Trxv/-i„-7r^V^:
SUR LA FOiniULE DE STIRLING, ETC. 35 1
mais on a, par la formule (i8) de la Note précédente,
Jlogr(i-+-^)__^^/ I \ , /i
(Ix \ l-hxj V 2
et en changeant x en — x
c^logr(i— ^) n , / ^ \ , (^
dx
Si donc on porte ces valeurs dans l'équation (12), on aura IX IX IX I ., e^'N/^-+-e-^^v/-
I — x^ 0? — x'^ V — x"^ X TTxy'— I p— -iV— »
cette formule n'est autre chose que celle qui donne la valeur de cotTT^c en une série indéfinie de fractions simples; elle se trouve démontrée d'une manière élémentaire dans plusieurs ouvrages, et notamment dans ma Trigonométrie ; nous aurions donc pu la prendre ici pour point de départ; mais, outre qu'elle est établie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de x, il n'était pas sans intérêt de la rattacher aux formules que nous avons données dans notre théorie des
fonctions r. Si l'on pose x^= —^ •> la formule précédente
devient
or on a, par la division,
4/n'Tr''4-a' [irn-Kj [inivY
0„ désignant, pour abréger, la quantité -^ — ^__^^ , dont la valeur est comprise entre o et i.
Donnons à /n les valeurs i, 2, 3,... jusqu'à l'infini, ajou-
ions ensuite tous les résultats, el remarquons que si l'on pose
/«=r CO
sera nécessairement compris entrée et i, on aura, à cause de la formule (i3),
nj =; ce r)i=ztc
^^ (iniT:
nj := I TO = I
et si l'on fait
Bn T / , I I
il viendra
étant, nous le répétons, une quantité comprise entre o et i. Ce résultai remarquable est dû à Cauchy; la fonction de a, qui constitue le premier membre de la formule (i5), ne devient infinie que pour les valeurs de a comprises dans la formule a = 2/(77 y/ — 1> ^' élanl un entier posilif ou négatif, mais différent de zéro; il en résulte que celte fonction est développable en série convergente, par la formule de Maclaurin, pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de a dont le module est inférieur à 27:, en sorte que l'on a, dans cette hypothèse,
^, T /' I I i\ B, Bj , . , B„
mais la formule (i5) subsiste pour toutes les valeurs réelles
