SUR LA FOU3IULE DE STIRUXC, ETC
et, pourp. >> I,
9 désignant, dans toutes ces formules, une quantité comprise entre o et i .
10. Les résultats que nous venons d'obtenir fournissent un mo^/en très-simple de calculer la constante d'EuIer, constante que nous avons désignée par C. Nous prendrons pour point de départ la formule (82) de la Note précédente qui suppose x entier et qui devient, en changeant ^ en ^ + 1 ,
■^ i ' '^ X dx '
, d\ogT [x -\-\\ remplaçant -^ par sa valeur tirée de la formule (3 r ),
il vient
rtx
eî l'erreur commise en s'arrêtant au terme qui dépend de B„
sera moindre, en valeur absolue, que - — ^"+' pn rprr,
^ (2/1 + 2) ^^"+2 ^"remplaçant les nombres B parleurs valeurs, dans la formule précédente, il vient
i + - + 3H-----i-^) — log^ ^
(33); , 2 es X) 2^
iix- \10X' 1^o.x^ 24o^«~^i32^'«" ~32^6â^~^"* et, en s'arrêtant au dernier des termes écrits, l'erreur commise
Lacuoix, Cale, diff., II. 2/1
SGa NOTE
sera moindre que • xVinsi en faisant ^;:=io, on a la for-
mule
o.of o.ooor 0,000001 0,00000001 o,ooooooooor' o,nooooooonf)f)i
12 120 252 240 \'Sl 32760
qui donnera la valeur de C avec quinze décimales exactes; en prenant
log 10 = 2,3o258 5oc)?,gg4o45 GS, on trouve sans difficulté la valeur
C^:= 0,577.11 5664g 01 532, déjà donnée dans la Note précédente.
11. Nous avons fait connaître au n° 6 une formule qui permet de calculer successivement les nombres B,, Bj, B3,....; on peut exprimer généralement B„ par une formule débarrassée de transcendantes, mais qui est un peu compliquée. Xous croyons toutefois utile d'établir cette formule, en terminant la présente Note.
Les nombres de Bernoulli sont définis par la formule (iG), qui peut s'écrire comme il suit :
f/^- I y. 2 Î.2 \.i.Ci.L\ \.i..nn
Or on a identiquement
si donc on remplace les fractions du second membre par leurs valeurs en séries, en faisant usage de la formule précédente appliquée aux cas de a 1= ^ et de a = 22, il viendra
(34) = (.y-i)JlL.^(2^,) L^^3.. ^(,y.(-2-,. -^..
série convergente pour toutes les valeurs de z dont le moJulc
