DIVISION ABRÉGÉE

220. Ainsi qu'on l'a vu au n° 191, pour diviser l'un par l'autre deux nombres décimaux, il faut multiplier ces nombres par l'unilé suivie d'aulanl de zéros qu'il y a de décimales dans le diviseur et faire ensuite la division des nombres résultants; le diviseur devient alors un nombre entier.

En outre, dans la division d'un nombre entier ou décimal par un entier, on peut toujours faire en sorte que l'unité qui exprime le degré d'approximation demandé soit une unité simple. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver le quotient de 3471 ,326 par 7 à un centième près; le quotient demandé contiendra évidemment autant de centièmes qu'il y a d'unités dans un quotient 100 fois plus grand; il suffira donc de chercher le quotient de 347i32,6 par 7 à une unité près et de faire exprimer des centièmes au résultat. De même, si l'on veut se borner à évaluer le quotient de 3471 ,326 par 7 à une dizaine près, on remarquera que le quotient demandé contient autant de dizaines qu'il y a d'unités dans un quotient 10 fois plus petit ; il faudra donc évaluer le quotient de 347,i326 par 7 à une unité près et faire exprimer ensuite des dizaines au résultat.

On voit par là que tous les cas de la division peuvent se ramener au cas où il s'agit de trouver, à une unité près, le quotient d'un nombre entier ou décimal par un entier. On peut même toujours faire en sorte que le dividende soit un nombre entier, en y supprimant la virgule et en écrivant à la droite du diviseur autant de zéros qu'il y avait de décimales dans le dividende; mais ces zéros ne jouent aucun rôle dans les calculs et il vaut mieux ne pas les écrire.

221. La division d'un nombre entier ou décimal par un entier peut s'effectuer d'une manière abrégée au moyen de la règle suivante :

Règle. — Pour obtenir, à une unité près, le quotient d'un nombre entier ou décimal par un entier, on commence par déterminer le nombre des chijfres du quotient.

On prend sur la gauche du diiiseur assez de chiffres pour que le nombre qu'ils expriment soit au moins égal à 9 fois le nombre des chiffres du quotient; ces chiffres forment le dernier

DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES. i3i

DIVISEUR. On compte, à la suite du dernier diviseur, autant de chiffres moins un qu'il doit y^ en avoir dans le quotient, et l'on efface tous ceux qui suivent; les chiffres qui restent au diviseur forment le premier diviseur. Ensuite on efface, sur la droite du dividende, outre les décimales qui peuvent s'f trouver, autant de chiffres qu'il y en a dans le diviseur proposé à la droite du dernier diviseur; la partie conservée au dividende forme le premier dividende.

On divise le premier dividende par le premier diviseur et l'on a ainsi le premier chiffre du quotient ; le reste obtenu est le DEUXIÈME dividende. On efface le dernier chiffre à droite du premier diviseur et l'on a le deuxième diviseur. On divise le deuxième dividende par le deuxième diviseur et l'on obtient le deuxième chiffre du quotient. On continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chiffres du quotient.

Le nombre écrit au quotient est, à une unité près, par défaut ou par excès, le quotient des nombres proposés.

Supposons, par exemple, qu'on veuille obtenir le quotient de 2209368217,79 par 802198 à une unité près. Le quotient demandé doit avoir quatre chiffres ; le produit de 4 par 9 étant 36, nous prenons, suivant la règle, les deux premiers chiffres 8 et 0 du diviseur proposé pour former le dernier diviseur; prenant encore 3 chiffres à la droite de ces deux-ci, nous obtenons le premier diviseur 80219, et nous effaçons le chiffie 8 qui suit le premier diviseur. Passant au dividende, nous effaçons les deux décimales et les quatre derniers chiffres de la partie entière, parce qu'il y a quatre chiffres dans le diviseur proposé à la droite du dernier diviseur; le premier dividende est ainsi 220986. Nous disposons l'opération comme il suit, en marquant d'un astérisque les chiffres qu'on doit effacer tout d'abord et ceux qu'on efface dans le courant du calcul :

Le nombre 2754, obtenu conformément à la règle énoncée, est le quotient des nombres proposés à une unité près,

i32 LIVHE I!I. - CHAPITRE V.

En effet, djns l'opéralion iju'on vient d'exécuter, on a retranché successivement du dividende proposé, non pas les produits exacts du diviseur par les différents cliiffres écrits au quotient, mais ces mêmes produits diminués chacun d'une certaine quantité; l'excès du dividende sur les produits dont il s'agit est le nombre 218217,79, que l'on forme en écrivant à la droite du dernier reste 21 les chiffres effacés au dividende. 11 résulte de là que le nombre 2754 est le quotient exact que l'on obtiendrait en divisant, par le diviseur proposé, le dividende proposé diminué du reste 218217,79 et augmenté des produits qui ont été négligés dans la multiplication du diviseur par 2754. Si la somme de ces produits négligés et le reste total 218217,79 sont tous deux inférieurs au diviseur proposé, il est clair que 2754 sera égal au quotient exact que l'on obtiendrait en divisant, par le diviseur proposé, le dividende proposé augmenté ou diminué d'un nombre inférieur au diviseur, nombre qui peut même se réduire à zéro. Par conséquent, dans l'hypothèse admise, le dividende proposé contiendra au moins 2753 fois le diviseur proposé, mais il ne le contiendra pas 2755 fois; le quotient demandé sera donc 2754 à une unité près, par défaut ou par excès.

Tout estdonc ramené à prouver: 1° que le reste total 2 182 17, 79 est inférieur au diviseur proposé; 2° que la somme des produits négligés dans la multiplication du diviseur proposé par les chiffres écrits au quotient est aussi moindre que le diviseur.

Le premier point est évident; car le dernier reste 21 est nécessairement moindre que le dernier diviseur 80; d'ailleurs les chiffres effacés dans la partie entière du dividende sont en même nombre que les chiffres qui suivent le dernier diviseur, dans le diviseur proposé. Donc le reste total 218217,79 est moindre que le diviseur 802198.

Pour établir le second point, il faut apprécier la valeur des produits négligés dans la mulliplicalion du diviseur proposé par le nombre écrit au quotient. En multipliant le diviseur par le premier chiffre du quotient, nous n'avons pas eu égard aux chiffres qui suivent le premier diviseur; de même, en multipliant le diviseur par le deuxième chiffre du quotient, nous avons négligé les chiffres qui suivent le deuxième diviseur, et ainsi de suite. En un mot, nous avons opéré comme nous l'eus-

DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES

sions fait s'il eût été question de multiplier, d'après la méthode abrégée, le diviseur proposé par le quotient. Dans cette multiplication abrégée, le chiffre 4 des unités du quotient renversé serait écrit au-dessous du dernier chiffre o du dernier diviseur 80, chiffre qui occupe la place des dizaines de mille; l'erreur qui affecte la somme des produits partiels obtenus dans la multiplication abrégée dont il s'agit est donc inférieure au nombre formé d'autant de dizaines de mille qu'il y a d'unités dans la somme des chiffres du quotient (219). Le nombre des chiffres du quotient étant 4> l'erreur dont il s'agit est, à plus forte raison, moindre que 4X9 dizaines de mille. Or le dernier diviseur 80 est, d'après la règle, au moins égal 34X9; donc la somme des produits négligés, en multipliant le diviseur proposé par les chiffres écrits au quotient, est moindre que 80 dizaines de mille; cette somme est donc, à plus forte raison, moindre que le diviseur proposé 802198.

On se dispense habituellement d'écrire les chiffres supprimés tout d'abord au dividende et au diviseur; l'opération est alors disposée comme il suit :

222. Il peut arriver que, dans une division abrégée, l'un des dividendes successifs contienne 10 fois le diviseur correspondant; la règle suivante se rapporte à ce cas particulier :

Lorsque, en appliquant la règle du n° 221, 07i obtient un dividende qui contient 10 fois le diviseur correspondant , on termine l'opération en augmentant d'une unité le dernier chiffre écrit au quotient et en mettant à la droite de ce chiffre autant de zéros quil reste de chiffres à écrire.

Supposons, par exemple, qu'on demande le quotient de 4851729235 par 782543 à une unité près.

bi{io)o

i34 LIVRE m. - CHAPITRE V.

On oblieni pour troisième dividende le nombre 7828 qui conlieni 10 fois le troisième diviseur 782; écrivons le nombre (10) à la place des dizaines du quotient, comme si ce nombre n'avait qu'un seul chiffre, el continuons l'opération. Comme le deuxième reste 7828 qui sert de troisième dividende est moindre que le deuxième diviseur 7825, et que ce troisième dividende contient 10 fois le troisième diviseur 782, il est évident que le troisième reste n'aura qu'un seul chiffre. D'ailleurs, le dernier diviseur a au moins deux chiffres : donc tous les chiffres (ju'il reste à écrire au quotient sont des zéros. Le raisonnement du n° 221 s'applique sans modification à notre exemple; ainsi le quotient demandé est 61(10)0 ou 6200 à une unité près. A la vérité, dans l'appréciation de l'erreur commise en multipliant le diviseur par les chiffres écrits au quotient, on a remplacé (221) chaque chiffre par sa limite supérieure qui est 9, tandis qu'ici l'un de ces chiffres est censé contenir 10 unités. Mais le raisonnement dont nous avons fait usage suppose seulement que la somme des chiffres du quotient est inférieure à 9 fois le nombre de ces chiffres; il ne pourrait donc rester d'incertitude que dans le cas où l'on serait conduit à écrire 10 pour le dernier chiffre du quotient, les chiffres précédents étant tous égaux à 9 : dans ce cas, notre règle donne pour le quotient demandé l'unité suivie de plusieurs zéros, et l'on reconnaîtra immédiatement si ce résultat est exact ou s'il faut le diminuer d'une unité.

223. Lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres dans le diviseur proposé pour former, suivant la règle du n° 221, le premier diviseur, il est nécessaire de déterminer le premier chiffre ou quelques-uns des premiers chiffres du quotient, par la méthode vulgaire, avant d'employer la méthode abrégée. On pourrait à la vérité écrire un même nombre de zéros à la droite du dividende et du diviseur, de manière à compléter les chiffres nécessaires pour former le premier diviseur, mais il est aisé de voir que cette seconde manière d'opérer est identique à la première.

Supposons, par exemple, qu'on demande le quotient de 81415,926535897 par 27,1828 a 0,001 près. D'après ce qui a été dit au n°220, il faut supprimer la virgule au diviseur, la reculer de sept rangs vers la droite dans le dividende, chercher le

DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES

quotient des nombres obtenus à une unité près et laire exprimer des millièmes au résultat. Le quotient des nombres 314159265358,97 et 271828 contient sept chiffres; mais on ne pourra déterminer que les quatre derniers chiffres par la méthode abrégée. Le dernier diviseur sera 271, et comme il a trois chiffres à sa droite dans le diviseur proposé, les trois derniers chiffres de la partie entière du dividende ne seront pas employés; il est donc inutile d'écrire ces chiffres et l'opération sera disposée comme il suit :

Les trois premiers chiffres du quotient ont été déterminés par la méthode vulgaire, les quatre derniers par la méthode abrégée. Le quotient demandé est 1155,728 a un millième près.

THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE. i37