SOUSTRACTION ABRÉGÉE

218. Règle. — Pour obtenir la différence de deux nombres entiers ou décimaux à une unité près d'un certain ordre, on évalue ces nombres, tous deux par défaut ou tous deux par excès, à une unité près de cet ordre, et l'on prend ensuite la différence des nombres approchés.

Soient, par exemple, les deux nombres 9,8696, 3,141592,

et supposons qu'on veuille obtenir leur diflerence à 0,001 près. D'après la règle énoncée, on ne doit conserver (jue trois décimales dans les nombres proposés, et l'on dispose l'opération comme il suit :

Le résultat trouvé, 6,728, exprime la différence des nombres proposés, à 0,001 près, par défaut ou par excès.

En effet, pour avoir la différence exacte des nombres proposés, il suffirait d'augmenter ou de diminuer 6, 728 de la différence des quantités dont on a altéré les nombres proposés; ces quantités sont plus petites que 0,001; il en est donc de même de leur différence. Par conséquent, 6,728 diffère de moins de 0,001 du résultat exact.

219. Règle. — Pour obtenir, à une unité près d'un certain ordre, le produit de deux nombres entiers ou décimaux, on écrit le chiffre des unités du multiplicateur au-dessous du chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime le degré d' approximation demandé ; on écrit ensuite les autres chiffres du multiplicateur dans l'ordre inverse de l'ordre ordinaire, c'est-à-dire les dizaines, centaines, etc., à droite du chiffre des unités, les dixièmes, centièmes, etc., à gauche du chiffre des unités. On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre signifî-

DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES. vii

catifdu multiplicateur, en commençant chaque multiplication par le chiffre du multiplicande qui est au-dessus du chiffre du multiplicateur. On écrit tous ces produits partiels les uns audessous des autres, de manière que les derniers chiffres à droite se correspondent, et on les ajoute. On supprime les deux derniers chiffres à droite de lasomme et l'on augmente d'une unité le chiffre précédent. Enfin on fait exprimer au résultat des unités de l'ordre de celle qui exprime le degré d'approximation demandé.

Le multiplicande et le multiplicateur étant écrits comme il vient d'être indiqué, il peut arriver que certains cliiffres du multiplicateur n'aient pas de chiffres correspondants au-dessus d'eux, soit à droite, soit à gauche du multiplicande. Dans le premier cas, on écrit, à la droite du multiplicande, autant de zéros qu'il est nécessaire avant de commencer l'opération; dans le second cas, on opère sans tenir compte des chilTres du multiplicateur qui n'ont pas de correspondants au-dessus d'eux.

Prenons pour exemple les deux nombres

et supposons qu'on veuille obtenir leur produit à 0,001 près. Le chiffre des unités du multiplicateur devra être écrit, conformément à la règle, au-dessous du chiffre des cent-millièmes du multiplicande, et l'opération sera disposée comme

il suit :

Le produit demandé est 3ioo6,285 à 0,001 près. En effet, ou voit, par la manière dont l'opération est dis-

posée, que les produits partiels expriment tous des unités de même ordre que le chiffre du nuiltiplicande sous lequel est écrit le «chiffre des unités du mulliplicateur : ces produits partiels expriment ici des cent- millièmes, et leur somme 3ioo6, 28485 est évidemment plus petite que le produit exact des deux nombres proposés.

Cela pose, dans chaque multiplication partielle, nous avons négligé la partie du multiplicande à droite du chiffre qui correspond au chiffre du multiplicateur. Le nombre exprimé pai ces chiffres est moindre qu'une unité de l'ordre du chiffre à partir duquel commence la multiplication; d'où il suit que l'erreur commise sur le produit partiel en question est moindre que le produit d'un cent-millième par le chiffre du multiplicateur. Par conséquent, la somme des erreurs commises dansles diverses multiplications partielles est moindre que le produit d'un cent-millième par la somme des chiffres employés au multiplicateur, c'est-à-dire moindre que

(9-f- 8 + 6-t-9-t-G-i-7-;-7)Xo, 0000 1 ,

ou que 52 X 0,00001.

En outre, nous avons négligé entièrement le produit du multiplicande par la partie 33 à gauche du multiplicateur. Le nombre exprimé par ces chiffres est moindre qu'une unité de l'ordre du chiffre 7 écrit au-dessous du premier chiffre 3 du multiplicande; d'ailleurs, le nombre exprimé par tous les chiffres du multiplicande qui suivent le premier chiffre est moindre qu'une unité de l'ordre de ce premier chiffre; par conséquent, l'erreur provenant des chiffres négligés dans le multiplicateur est moindre que le produit d'un cent-millième par 3 H- I, c'est-à-dire moindre que 4X 0,00001.

En résumé, le nombre 3ioo6, 28485 est en erreur, sur le produit des nombres proposés, d'une quantité inférieure à 52 -}-4 ou ^Q cent-millièmes, et, à plus forte raison, inférieure à loo cent-millièmes ow à i millième. Le produit des nombres proposés est donc compris entre 3 1006, 28485 et 3 1006,28^85-1-0,001. A plus forte raison, ce même produit est compris entre 31006,284 et 31006,286; par conséquent, le nombre 3ioo6,285, formé d'après la règle, est le produit des nombres proposés à 0,001 près, par défaut ou par excès.

On se dispense habituellement d'écrire les chiffres du mul-

DES OPÉRATIONS ABRÉGÉES. 199

tiplicande et du mulliplicaleur qu'on ne doit pas employer; l'opération est alors disposée comme il suit :

Le raisonnement que nous venons de faire conduit à cette conséquence : Pour que la règle donnée soit exacte, il faut, dans le cas où tous les chiffres du multiplicateur ont été employés, que la somme de ces chiffres ne surpasse pas 100; et, dans le cas où tous les chiffres du multiplicateur n'ont pas été employés, il faut que la somme des chiffres employés, augmentée du premier chiffre à gauche du multiplicande et d'une unité, ne surpasse pas 100. Cette condition est le plus souvent remplie; lorsqu'elle ne l'est pas, la règle doit subir les deux modifications que voici :

1° Le chiffre des unités du multiplicateur doit être écrit audessous du chiffre du multiplicande qui représente des unités mille fois plus petites que celle qui exprime le degré d'approximation demandé.

2° La somme des produits partiels du multiplicande par les divers chiffres du multiplicateur ayant été formée conformément à la règle, il faut supprimer les trois derniers chiffres à droite de cette somme et augmenter le chiffre précédent d'une unité.

La règle ainsi modifiée satisfait à tous les cas qui peuvent se présenter dans la pratique.

On voit aussi qu'on peut simplifier la règle dans le cas où la somme des chiffres du multiplicateur est inférieure à 10. On peut alors effectivement calculer un chiffre de moins dans chaque produit partiel; cette simplification est évidente, et nous n'insisterons pas davantage.

s. et de C. — Arithm. 9

ijo LIVRE III. - CHAPlTRli V.