CHAPITRE PREMIER

DÉFINITIONS

224. Si deux grandeurs sont des multiples d'une même troisième grandeur, celte troisième grandeur est une commune mesure des deux premières.

Deux grandeurs sont 6'C»m/?/en5?<rrt6/É'5 ou incommensurahles entre elles, suivant qu'elles ont ou qu'elles n'ont pas de commune mesure.

Lorsqu'une grandeur ou une quantité variable X se rapproche indéfiniment d'une grandeur ou d'une quantité fixe A, de manière que la différence A — X ou X — A puisse être rendue plus petite que toute quantité donnée, on dit que A est la limite de X. La théorie des fractions décimales périodiques nous a déjà offert (210) un exemple de limite.

225. Si une grandeur a une commune mesure avec l'unité choisie, celte commune mesure est égale à l'unité elle-même ou à une partie aliquote de l'unité. Dans le premier cas, la grandeur est mesurée par un nombre entier; dans le second cas, par un nombre fractionnaire (133).

Réciproquement, toute grandeur mesurée par un nombre entier ou fractionnaire est commensurable avec l'unité, car cette grandeur est un multiple de l'unité ou d'une partie ali« quote de l'unité.

i38 LIVRE IV. — CHAPITRE I.

Une grandeur incomu ciiturable avec l'unilé ne peul donc être mesurée ni par un nombre cniier, ni par un nombre fraclionnaire.

226. Un nombre esi û\l commensurable ou incommensurable suivant que la grandeur dont il exprime la mesure est commensurable ou incommensurable avec l'unilé choisie.

Les nombres commensurables sonl les entiers et les fractions (225).

D'après ce qui précède, les nombres incommensurables ne peuvent être représentés exactement qu'à l'aide de symboles particuliers; mais on peut toujours indiquer des nombres commensurables qui en approchent autant qu'on veut; c'est ce que nous allons véiitier pour les racines.

227. Le carré ou la deuxième puissance d'un nombre est le produit de deux facteurs égaux à ce nombre (71). Ainsi le carré

2 2 2 4 XT

de 5 est 5 X 5 ou 2.5; le carre de -r est ^^ X ô O" -' rsous sa-

vons que, pour élever une fraction au carré, il faut élever ses

deux termes au carré (175).

La racine carrée d'un nombre N est le nombre qu'il faut

élever au carré pour reproduire N. Ainsi, aS étant le carré de

5, la racine carrée de 25 est 5. De même, - étant le carré de

^1 la racine carrée de - est - •

228. Pour représenter la racine carrée d'un nombre, on place à la gauche de ce nombre le signe v/ , nommé radical. Ainsi /^

et i /- représentent respectivement les racines carrées de aS

et de -•

229. Tout nombre qui est le carré d'un nombre entier ou fractionnaire est dit carré parfait.

THÉORIE DE LA RACI^E CARRÉE. iSg

230. Nous avons vu (176) qu'un nombre eniier qui n'esl pas le carré d'un nombre eniier ne peut être non plus le carré d'une fraction; ce n'esl donc pas un carré parfail. De même (177) toute fraction irréduclible dont les deux termes ne sont pas des carrés parfaits ne peut être elle-même un carré parfait.

Les racines carrées des nombres entiers qui ne sont pas carrés parfaits et des fractions irréductibles dont les deux termes ne sont pas carrés parfaits, ne pouvant être exprimées exactement ni par un nombre entier ni par une fraction, sont des nombres incommensurables dont on peut obtenir la valeur avec une approximation quelconque (226). Ainsi, \/2 et

/5 - sont des nombres incommensurables.

231. L'opération par laquelle on détermine la racine carrée d'un nombre est appelée extraction de la racine carrée.

La question que nous devons résoudre est celle-ci :

Étant donné un nombre N, entier ou fractionnaire, extraire sa racine carrée, exactement si N est un carré parfait, avec l'approximation imposée dans le cas contraire.

Pour y arriver, il est nécessaire d'établir d'abord quelques propriétés des carrés.