Les neuf premiers nombres

I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ont pour carrés

L'inspection de cette table conduit à quelques remarques utiles.

Observons d'abord que le carré d'un entier composé de dizaines et d'unités est terminé par le même chiffre que le carré de ses unités (232).

THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE. i4i

On en conclut que les carrés des nombres terminés par i ou par 9, par 1 ou par 8, par 3 ou par 7, par 4 ou par 6, par 5, sont respectivement terminés par i, par 4, par 9, par 6 et par 5.

On peut même ajouter que les carrés des entiers terminés par 5 sont terminés par -25. En effet, dans ce cas, le double produit des dizaines par les unités est terminé par deux zéros comme le carré des dizaines, et, quand on ajoute les trois parlies qui composent le carré du nombre donné, le carré 25 du chiffre 5 des unités remplit seul les deux premières colonnes.

Notons enfin que les carrés des entiers terminés par des zéros sont toujours terminés par un nombre double de zéros (39).

Ce qui précède fournit immédiatement les caractères d'exclusion que nous allons énoncer :

Tout nombre entier terminé par l'un des chiffres 2, 3, 7, 8 n'est pas un carré parfait ; il en est de même de tout nombre entier terminé par 5, sans que le chiure de ses dizaines soit égal à 2, et de tout nombre entier terminé par un nombre impair de zéros.

Celte dernière conséquence résulte aussi du théorème du n° 127. Soit, en effet, 43ooo; ce nombre étant terminé par un nombre impair de zéros contient l'un, au moins, des facteurs 2 et 5 avec un exposant impair; il ne peut donc être carré parfait.

En général, un nombre enlier ne peut être carré parfait lorsque, étant divisible par une puissance impaire d'un nombre premier, il ne l'est plus par la puissance immédiatement supérieure. Si l'on reconnaît, par exemple, qu'un entier est divisible par 3 sans l'être par 9, on peut affirmer que cet entier n'est pas carré parfait.