Les carrés des puissances de 10, savoir

10, 100, 1000, lOOOO, ...

sont respectivement

loooooo, 100000000,

11 en résulte que la racine carrée d'un nombre plus petit que 100 n'a qu'un chiffre à sa partie entière, que celle d'un

i4ï LIVRE IV. - CHAPITRE I.

nombre compris entre loo cl loooo a deux chiffres à sa partie entière,. . . .

EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE ENTIER OU FRACTIONNAIRE, A L'UNITÉ PRÈS.

236. Nous commencerons par ramener le second cas ou premier, en démontrant le théorème suivant :

La racine carrée, à moins cVune unité, d'un nombre fractionnaire N, est égale à la racine carrée, à moins d'une unité, de la partie entière de N.

Désignons par a la partie entière de \/N. Cette racine étant comprise entre a elrt + i, N est compris entre a' et (« -t- i)'; par suite «' est le plus grand carré entier contenu dans N. La partie entière de ce nombre est donc au moins égale à a' et, comme elle est moindre que {a -4- i )-, la racine carrée à l'unité près de cette partie entière est aussi égale à a.

Dans ce qui suit, nous pourrons donc supposer que le nombre donné N est entier. Nous aurons alors deux cas à distinguer.

237. Si N est ■< loo, \/N est «< lo (235). On peut alors résoudre la question proposée par la simple inspection de la table des carrés des neuf premiers nombres (23i).

Soit N = 47- Ce nombre n'est pas un carré parfait, et l'on trouve qu'il est compris entre les deux carrés consécutifs 36 et 49, dont les racines respectives sont 6 et 7. y'N est donc, à moins d'une unité, 6 par défaut et 7 par excès. L'excès 11 du nombre 47 sur le plus grand carré entier 36 qu'il contient est appelé reste de l'opération.

Si N est >> 100, v'N est >> 10 (235) et renferme des dizaines et des unités. La recherche de la racine carrée comprend alors deux parties. On détermine d'abord exactement le nombre des dizaines de la racine, et, ensuite, un chilTre égal ou supérieur à celui de ses unités. C'est ce que nous allons expliquer sur un exemple.

238. Soit le nombre 585916: on veut extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans ce nombre.

Le nombre donné étant plus grand que 100, la racine demandée est au moins égale à 10. On peut donc supposer cette racine décomposée en dizaines et en unités, et, par conséquent, son carré se composera (232) du carré des dizaines, de deux fois le produit des dizaines par les unités et du carré (ies unités. Or, le carré du nombre des dizaines de la racine est nécessairement contenu dans le nombre 6859 des centaines du nombre proposé, et ce dernier nombre peut d'ailleurs renfermer quelques centaines provenant des autres parlies du carré de la racine et du reste (237). Donc, en extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans SSSg, on aura le nombre des dizaines de la racine cbercbée ou un nombre trop fort. Il est aisé de voir que ce nombre ne peut être trop fort. En effet, supposons que 76 soit la racine du plus grand carré entier contenu dans 5859 • '^ carré de 'ji pouvant se reirancber de 5859, '^ carré de 760 pourra évidemment se retrancher de 585900 et, par suite, de 585916.

On voit par là que le nombre des dizaines de la racine d'un entier N'^ 100 est toujours égal à la racine du plus grand carré entier contenu dans le nombre des centaines de N.

Nous sommes ainsi conduits à chercher d'abord la racine du plus grand carré entier contenu dans 5859.

Le nombre 5859 étant lui-même plus grand que 100, la racine qu'il faut trouver est supérieure à 10; un raisonnement identique au précédent montre que le nombre des dizaines de cette racine est égal à la racine du plus grand carré entier contenu dans le nombre 58 des centaines de 5859. Nous sommes donc conduits à chercher d'abord la racine du plus grand carré entier contenu dans 58.

Le nombre 58 étant plus petit que loo, la racine qu'il faut trouver est moindre que 10; on voit (237) que celte racine est 7.

La racine du plus grand carré contenu dans SSSg renferme donc 7 dizaines; nous allons chercher le chiffre des unités de cette racine. L'excès du nombre 58 sur le carré 49 de 7 étant 9, il est évident que si l'on retranche de 5859 le carré de 7 dizaines, c'est-à-dire 49 centaines, le reste contiendra 9 centaines et 59 unités; il sera donc 95g; si l'on divise alors le nombre 90 des dizainesde ce reste par ledouble i4 du nombre des dizaines de la racine demandée, le quotient obtenu sera

égal ou supérieur au chiffre des unités de celle racine. En effet, le nombre SSSq contient : i° le carré des dizaines de la racine demandée; 2° le double produit des dizaines par les unités; 3" le carré des unités; 4° 'e reste de l'opération. Par suite, si l'on retranche de 5859 la première de ces quatre parties, le reste obtenu gSg contiendra encore les trois autres parties; le nombre gS des dizaines de ce reste est donc au moins égal au produit que l'on formerait en multipliant le double i4 du nombre des dizaines de la racine demandée par le chiffre inconnu des unités de cette racine. Par conséquent, le quotient 6 que l'on trouve en divisant gS par i4 est le chiffre des unités de la racine ou un chiffre trop fort.

On voit par là que si l'on retranche d'un entier N le carré des dizaines de sa racine carrée, et si l'on divise le nombre des dizaines du reste par le double du nombre de dizaines de la racine, le quotient obtenu est égal ou supérieur au chiffre des unités de la racine.

Pour reconnaître si le chiffre des unités de la racine est effectivement 6, il faut voir si le carré de 76 peut être retranché de 5859. Or le carré de 76 ou de 70 + 6 est égal à

no'H-^x 70 x6 -f-6'

ou égal à

en retranchant de 5859 la première de ces trois parties, savoir 4900, nous avons trouvé pour reste 959; il suffit donc de chercher si, de ce reste, on peut encore soustraire i4ox6-i-G' ou (i4o -<- 6j X 6 ou enfin 146 X 6. Le produit de 146 par 6 est 876, nombre inférieur à 959 ; par conséquent, le chiffre des unités de la racine demandée est 6. L'excès du nombre 5859 sur le carré de 76 est évidemment égal à l'excès de 959 sur 146 X 6, lequel est 83.

Revenons maintenant au nombre donné 585916; la racine du plus grand carré entier contenu dans ce nombre renferme 76 dizaines; il reste à trouver le chiffre des unités de cette racine. Comme l'excès de 5859 ^^^ 7^' ^^^ ^^' ''excès de 585916 sur le carré de 76 dizaines, c'est-à-dire sur 76= centaines, contiendra 83 centaines et 16 unités; cet excès est donc 83x6. En répétantle même raisonnement, on prouvera que, si l'on divise le nombre 83i des dizaines de 83i6 par le double i52 du nombre

THEOaiE DE LA RACINE CARRÉE. i45

des dizaines de la racine, le quotient obtenu 5 doit être égal ou supérieur au ciiitTre des unités de la racine demandée. Pour reconnaître si le ciiifTre des unités de la racine esl effectivement 5, il faut voir si le carré de 765 peut être retranché de 585916. Or le carré de 7G5 ou de 760-1-5 est égal à 760' -T- 2 X 760 X 5 -f- 5%- en retranchant de 585916 la première de ces trois parties, savoir 760', nous avons trouvé pour reste 83i6; il suffit donc d'examiner si, de ce reste, on peut encore soustraire 2 x 760 x 5 -i- 5^ ou i52o x 5 -^ 5% ou enfin iSaSx 5. Le produit de i525 pir 5 est 7625, nombre inférieur à 83i6; la racine demandée esl donc 765. Quant au reste de l'opération, il esl égal à l'excès de 83i6 sur 7625, c'est-à-dire égal à 691.

On dispose l'opération de l'unedes deux manièressuivantes :

En adoptant la seconde disposition, on retranche respectivement, sans les écrire, les produits 7X7, 146 X 6, i525 x 5 des nombres 58, 959, 83i6, comme nous l'avons indiqué en traitant de la division.