Ce qui précède conduit à la règle suivante

Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier, oti le partage en tranches de deux chiffres à partir de la droite. Le nombre de ces tranches, dont la première à gauche peut n'avoir qu'un seul chiffre, est égal au nombre des chiffres de la racine.

On extrait la racine du plus grand carré entier contenu dans le nombre formé par la première tranche à gauche; on a ainsi le premier chiffre de la racine.

On retranche le carré de ce chiffre du nombre exprimé par la première tranche à gauche : on obtient ainsi un premier r'este à la droite duquel on abaisse la deuxième tranche. On sépare

S. et Je C. — Jrithm. lO

i46 LIVRE IV. - ClIAPITRI' I.

le dernier chiffre à droite du nombre ainsi formé, et l'on divise la partie à gauche par le double du premier chiffre de la racine. Le quotient entier de cette division est égal ou supérieur au deuxième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on l'écrit à la droite du double du premier chiffre de lu racine, et l'on multiplie le résultat par le chiffre essayé. On retranche le produit du nombre formé par le premier reste suivi de la deuxième tranche : si la soustraction peut se faire, le chiffre essayée est exact; sinon, on essaye de la même manière le chiffre inférieur d'une unité, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait trouvé le chiffre exact.

Le deuxième chiffre de la racine étant trouvé, on abaisse la troisième tranche à la droite du deuxième reste. On sépare le dernier chiffre à droite du nombre ainsi formé, et l'on divise la partie à gauche par le double du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine. Le quotient entier de cette division est égal ou supérieur au troisième chiffre de la racine. Pour essayer ce chiffre, on l'écrit à droite du double du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine et l'on multiplie le résultat parle chiffre essayé. On retranche le produit du nombre formé par le deuxième reste suivi de la troisième tranche : si la soustraction peut se faire, le chiffre essayé est exact ; sinon, on essaye de la même manière le chiffre inférieur d'une unité.

On continue de cette manière jusqu'à ce que toutes les tranches aient été successivement abaissées. Le dernier reste obtenu est le reste de l'opération.

Il peut arriver que, clans l'une des divisions dont il vient d'être question, le quotient entier soit zéro : dans ce cas, le chiffre correspondant de la racine est zéro. Le reste correspondant à ce chiffre est alors le dernier reste obtenu suivi de la dernière tranche abaissée; on abaisse une nouvelle tranche, et l'on continue l'opération d'après la règle.

240. Tous les chiffres de la racine carrée d'un nombre, à l'exception du premier, s'obtiennent par une division qui peut conduire à un chiffre trop fort. Si l'on diminue successivement d'une unité le chiffre reconnu trop fort, or) arrive infailliblement au véritable; mais souvent, pour abréger, on diminue le chiffre essayé de plusieurs unités, et l'on peut se trouver con-

duil de la sorte à écrire un chiffre trop faible. Pour reconnaître s'il en est ainsi, on fait usage du ihéorème suivant :

241. I. Le reste auquel conduit l'extraction, à moins d'une unité, de la racine carrée d'un entier est moindre que le double de la racine, augmenté d'une unité.

Soient N le nombre donné, a sa racine à l'unité près, R le reste de l'opération. On a

si l'on pouvait avoir

R = ou >> îrt + I,

on aurait aussi

N= ou>«'+2a + i,

c'est-à-dire

N= ou > [a -\-\)\

Or, c'est ce qui est impossible, puisque, par hypothèse, a' est le plus grand carré entier contenu dans N. Donc le reste R ne peut dépasser le double de la racine a.

Il résulte de là que, dans l'extraction de la racine carrée d'un entier, chacun des restes que l'on obtient successivement est, au plus, égal au double du nombre formé par les chiffres déjà écrits à la racine.

242. II. Si le reste R, auquel conduit l'extraction de la racine carrée d'un nombre N, est égal ou inférieur au nombre a écrit à la racine, a est, par défaut, la valeur de \/N , à moins d'une demi-unité. Si, au contraire, R surpasse a, a-\-i est, par excès, la valeur de y/N , à moins d'une demi-unité.

Comparons, en effet, les deux égalités

(1) N = ri'+R et

(2) la-h-]=a^-{-a-hy'

Si R est égal ou inférieur à a, on voit, par ces égalités, que N est plus petit que la -\--\ -, par suite \/N est <«-!--•

i48 LIVRE IV. - CILVPITRE I.

V'N étant ainsi comprise entre (i et (i-\---, a est, par défaut,

la valeur de ^N à moins d'une demi-unité.

Si R est supérieur à a, il est au moins égal à a -+- 1, puisqu'il s'agit de nombres entiers. On voit alors, par les égalités précédentes, que N est plus grand que (a 4- - j ; par suite v^

est >>« H

y/N étant ainsi comprise entre a h-- et rz + i, a -\- i est, par

excès, la valeur de v^N à moins d'une demi-unité.

Dans l'exemple du n" 238, nous avons trouvé -jôS pour racine et 691 pour reste; 765 représente donc v^ÔbSgiG, à moins d'une demi-unité par défaut.

EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE ENTIER OU FRACTIONNAIRE, AVEC UNE APPROXIMATION DONNÉE.

2i3. Chercher la racine carrée d'un nombre N, avec une approximation marquée par la fraction -? c'est chercher le

plus grand multiple de - contenu dans y/N. On ramène celte

recherche au calcul d'une racine carrée à l'unité près.

Désignons, en effet, par l'entier x le plus grand multiple de

- renfermé dans y/N . Nous devons avoir

n ' Il

Si l'on élève au carré, les trois nombres

seront rangés par ordre de grandeur, et il en seia encore de même si on les multiplie tous les trois par n\ On a, par suite,

ce qui prouve que cc^ est le plus grand carré entier contenu dans N/i'. Le nombre inconnu a: n'est donc autre chose que la partie entière de s/^iiK

On est ainsi conduit à la règle suivante ;

Pour extraire la racine carrée d'un nombre N, entier ou

fractionnaire, à moins de -1 il faut extraire, à moins d'une

unité, la racine carrée du produit N«' et diviser le résultat paru.

Soit à évaluer y^ig à moins de -• La racine carrée du produit 19X7'= 931 est, à moins d'une unité, 3o ou 3i. Par

conséquent, — et — sont les valeurs approchées de V19 a

moins de -■> la première par défaut, la seconde par excès.

Soit encore à calculer \ / — - à moins de -• Il faut extraire

Vit

d'abord, à moins d'une unité, la racine carrée de

c'est-à-dire (236), à moins d'une unité, la racine carrée de la partie entière i53. Les valeurs de \Ji5Z, à moins d'une unité,

sont 12 et i3; par conséquent, — et — sont les valeurs ap-

procnees de 1 / — 5? a moins de -? la première par défaut, la

seconde par excès.

244. Si la fraction qui indique l'approximation demandée était donnée sous la forme y> on commencerait par la ramener à la forme yr^î et l'on appliquerait ensuite la règle pré-

cédente en remplaçant n par -■