DES RACINES EN GÉNÉRAL

271. En général, lorsqu'un nombre est une puissance d'un autre nombre, le second nombre est dit une racine du premier. Ainsi, 32 étant la cinquième puissance de 2, le nombre 2 est à son tour la racine cinquième de 82; 5 est le degré ou Vindice de la racine.

Pour indiquer une racine d'un nombre, on place ce nombre sous le signe V > àans l'ouverture duquel on écrit l'indice de la racine. Ainsi ^32 représente la racine cinquième de 32.

Lorsqu'il s'agit d'une racine carrée, on se dispense d'écrire l'indice.

Les racines des nombres qui ne sont pas des puissances exactes, d'un degré égal à l'indice, sont des nombres incommensurables, et le calcul de leurs valeurs approchées peut être ramené à l'extraction des racines des nombres entiers, comme nous l'avons expliqué avec détails pour ce qui concerne les racines carrées.

Ainsi, l'on obtient la valeur de T N à - près en exiravant, à

une unité près, la racine du produit Nn"', et en divisant le

résultat par n. En outre, par le raisonnement emplové aux

n°' 236 et 261, on établit immédialemeni que pour extraire, à

une unité près, la racine m'''^' d'un nombre quelconque, il

suffit d'extraire la racine ni'"" de la plus grande puissance

m''"" entière contenue dans ce nombre.

Enfin, l'on démontre, en suivant le raisonnement du ii"2ol,

que si Ton extrait la racine m'^"" d'un nombre N, entier ou

fractionnaire, qui n'est pas une puissance m'''"' parfaite, par

défaut et par excès, d'après une loi d'approximation marquée

par — > on forme deux suites indéfinies de fractions qui tendent ^ nP '

vers une limite commune lorsque l'entier/; crûîiin'lcfinimeni.

C est celte limite commune, indépendante de la loi d'approximation, que nous appelons la racine m""" exacte de N et que nous représentons par ^/iN.

Par exemple, la racine cubique d'un nombre, tel que i3, qui n'est pas un cube exact est la limite de deux suites indéfinies de fractions dont les cubes tendent vers une limite égale à i3.

Mais l'extraction directe des racines de degré supérieur au deuxième n'est pas une opération pratique ; c'est au moyen des logarithmes que cette extraction doit être effectuée, comme on le verra plus loin. Le but que nous nous sommes proposé, en traitant de la racine cubique des nombres entiers, est simplement de donner une idée de la généralisation que comporte la théorie développée dans le Chapitre précédent.