DES NOMBRES INCOMMENSURABLES ET DES OPÉRATIONS SDR CES NOMBRES
27-2. Considérons une grandeur A qui soii incommensurable avec l'unité choisie, désignée par B (225) : elle sera mesurée par un nombre incommensurable a. (226).
n étant un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, i>
formons la grandeur -5 et admettons qu'elle soit contenue n
m fois dans A avec un reste moindre que — : le plus grand
multiple de — contenu dans A sera m—? et la grandeur m- 11 n
commensurable A sera comprise entre les deux grandeurs
commensurables m— et (/?; + ij— • Si I on conserve toujours
H comme unité, ces deux grandeurs commensurables seront
mesurées (135 par les nombres — et -•
^ ' ^ nu
nx On dit alors que — est une valeur approchée par défaut, à
moins de -? du nombre incommensurable oc qui mesure A,
et que est une valeur approchée par excès, à moins
de -> du même nombre, de sorte qu'on a n '
Supposons maintenant, pour fixer les idées, qu'il s'agisse
d'une longueur ab incommensurable avec l'unilé choisie cd. Portons cd sur ab autant de fois que possible.
Si (ib contient 1 fois cd, avec un reste eb moindre que cd, le nombre incommensurable X qui mesure ab est compris entre les nombres 2 et 3, qui sont ses valeurs par défaut el par excès à l'unilé près.
fh
Divisons l'unité cd en dix parties égales et portons l'une de
ces parties, /(/^= — > sur eb autant de fois que possible. Si le
reste eb contient 5 fois/i/, avec un reste gb moindre que/<:/, le nombre incommensurable X est compris enire les nombres 2, 5 et 2, 6, qui sont ses valeurs par défaut el par excès à un dixième près.
Divisons encore/t/ en dix parties égales, et portons l'une
de ces parties, fid = — = 5 sur sb autant de fois que pos-
sible. Si le reste gb contient 7 fois /id, avec un reste ib
moindre que hd, le nombre incommensurable X est compris
entre les nombres 2, 57 et. 2, 58, qui sont ses valeurs pnr
défaut et par excès à un centième près.
Comme la longueur ab est supposée incommensurable avec l'unité choisie, l'opération que nous venons d'indiquer se poursuivra indéfiniment, sans qu'on puisse parvenir à un reste nul ; et nos moyens d'investigation pourront seuls être en défaut pour apprécier les restes successifs, à cause de leur petitesse.
Quoi qu'il en soit, nous obtiendrons de cette manière deux séries de nombres commensurables, tels que
Ceux de la première série représentent les valeurs par défaut du nombre incommensurable X, ceux de la seconde série représentent les valeurs par excès du même nombre. Ces deux séries de nombres commensurables tendent
d'ailleurs, sans jamois l'alleindre, vers une même limilo (224) qui est précisénierii le nombre incommensurable >..
En effet, les nombres de la première série ne pouvant décroître, par suite de la marche adopiée, vont en général en croissant, tout en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série : ils s'approchent donc d'une certaine limite fixe.
De même, les nombres de la seconde série ne pouvant croître vont en général en décroissant, tout en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série : ils s'approchent donc d'une certaine limite fixe.
Les deux limites sont les mêmes; car les termes correspondants des deux séries différent, lorsqu'on arrive au ran^;
(p -t- i), de Or celle différence diminue à mesure que p
augmente, c'est-à-dire à mesure qu'on avance dans les deux séries, et tend autant qu'on veut vers zéro quand p augmente indéfiniment.
En même temps, la grandeur incommensurable nb est la limite commune des grandeurs commensurables mesurées par les nombres commensurables des deux séries.
Nous venons de considérer spécialement une longueur, et nous avons choisi une approximation décimale; mais il est clair qu'un raisonnement analogue peut s'appliquer aux grandeurs mathématiques de toute espèce, et que la loi suivant laquelle varie l'approximation successivement obtenue peut être quelconque, pourvu que cette approximation soit exprimée par un nombre de plus en plus peiit et landant vers zéro. C'est ce que nous allons montrer.
Soit une grandeur incommensurable quelconque A; désignons par a„ et a'„ les valeurs ap|)rochées à moins de -« par
défaut et par excès, du nombre incommensurable a qui mesure A.
Remarquons que (d'une manière générale) a„ ne croît pas toujours avec n. Si nous considérons, par exemple, la diagonale d'un carré en prenant son côté pour unité, cette diago-
nale est représentée par y 2, ei si l'on exiraii celle racine par
di^'faul, a — près d'abord, el ensuite a — près, on trouve —
tl — 5 c est-a-d;re «„+, <, a,,.
Pour lever toute difficulté, nous appellerons valeur principale (') de a, à moins de - par défaut, la plus grande do
toutes les valeurs de «„ quand on fait croître n de zéro jusqu'à n, et nous désignerons cette valeur principale par a„. De cette manière, quand n croîtra, la valeur principale a„ croîtra aussi ou, du moins, ne décroîtra jamais.
Remarquons, de même, que a'n ne décioît pas toujours à mesure que n augmente. Si nous considérons, par exemple, le côté du triangle équilaléral inscrit dans une circonférence dont le rayon est l'unité choisie, ce côté est représenté
par v^3, et si l'on extrait cette racine par excès, à — près
d abord, et ensuite a — près, on trouve — el — ? c est-a-dire II 10 I r
Nous appellerons donc valeur principale de a, à moins
de - par excès, la plus petite de toutes les valeurs de a'^ quand
on fait croître n de zéro jusqu'à n, et nous désignerons celle valeur principale par a„. De cette manière, quand n croîtra, la valeur principale a'n décroîtra ou, du moins, ne croîtra jamais.
Cela posé, a„ mesurant une grandeur inférieure à A, reste également inférieur, quel que soit n, à l'une quelconque des valeurs rt^ approchées par excès; et, comme a„ ne peut décroître lorsque n croît indéfinimenl, la série des valeurs de a» tend vers une certaine limite fixe.
De même, a), mesurant une grandeur supérieure à A, reste également supérieur, quel que soit n, à l'une quelconque des valeurs «„ approchées par défaut; el, comme a'n ne peut croître
(') Voir la Note I des Eléments de Géométrie, par EugèXE Rocché et Ch. de Comberoisse; 3* odilion entièrement refondue, i88i.
174 LIVRK IV. - CIIAriTIlE III.
lorsque // croît indéfiniment, la série des valeurs de y!„ tend aussi vers une certaine limite fixe.
Ces deux limites, d'ailleurs, se confondent; car, par définition, les valeurs principales «„ et «^ sont comprises entre n„
elrtl, el, par suite, leur différence est moindre que r/^— <-/„=-,
fraction qui tend vers zéro autant qu'on veut lorsque n croît indéfiniment.
Celte limite commune qui, par conséquent, est aussi celle vers laquelle tendent en même temps les séries des valeurscorrespondantes de a„ el de n'^, est le nombre incommensurable a.
La grandeur incommensurable A est, à son tour, la limite commune des grandeurs commensurables représentées par ces mêmes séries de nombres commensurables.
273. Nous pouvons maintenant préciser les opérations arithmétiques au point de vue des nombres incommensurables.
Puisque les nombres ne sont que la représentation des grandeurs, on est conduit à cette définition générale.
Le résultat de toute opération sur des nombres incommensurables, est la limite des résultats fournis par la même opé-
Kttion appliquée à leurs valeurs approchées à moins de - i
par défaut ou par excès, lorsque n croît indéfiniment.
Nous allons vérifier, pour chaque opération arithmétique, que cette limite existe et qu'elle ne dépend pas de la manière dont n croît indéfiniment.
Dans ce qui suit, nous désignons par a et [3 les deux nombres incommensurables proposés; par a„ et a'„, b„ et b'„, les valeurs de ces nombres approchées par défaut el par excès à moins
de -•, par «„ et a/„ [3„ et (3;„ les valeurs principales correspondantes. 11 résulte de ce qui précède que a est la limite commune de a„, a'n, a», «,', comme (3 celle de 6„, b'n, [3„, (3,',, quand n croît indéfiniment.
Addition. — On veut définir la somme des deux nombres incommensurables a et (3.
Formons les deux sommes a„-l-|3„ ei «^-t-(3„; lorsqu'on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque, elles consliiueni deux séries correspondantes.
Les nombres de la première série, sommes des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître (272), croissent en général en restant inférieures à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, sommes des valeurs principales par excès, ne pouvant croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc vers une limite, qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtant à un rang quelconque, la différence
'«;-*- p;)-(««+;3„) ou (a;-«j + (p;-[3„)
est moindre, d'après la définition des valeurs principales, que
la différence
{a'„— On] ■+■ [b'n— b„ —-■,
fraction qui tend vers zéro autcni qu'on veut pour n assez grand.
C'est cette limite commune qui est la somme a -r- 3-.
Cette somme est donc la limite de la somme qu'on obtient en ajoutant deux valeurs approchées correspondantes de « et
de J3, l'approximation - de ces valeurs pouvant avoir lieu
dans un sens quelconque, pourvu que n croisse indcliniment.
Soustraction. — a est dit plus grand que (3 si l'on a, quel que soit n, a«>>[3^. On veut définir la différence des deux nombres incommensurables a et (3.
Formons les deux différences a„— % et oc'„— !3„; lorsqu'on fait croître i,. indéfiniment d'une manière quelconque, elles constituent deux séries correspbndantes.
Les nombres de la première série ne pouvant évidemment décroître d'après la définition des valeurs principales, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. A leur tour, les nombres de la
17G LlVllE IV. — CHAPITRE III.
seconde série ne pouvant croîire, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc vers une limite, qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêtani à un rang quelconque, la différence
(a:,-(3„)-(a„-p;) ou (a;-a„] + ([3;-P„)
est moindre que la différence
qui tend vers zéro autant qu'on veut pour n assez grand.
C'est celte limite commune qui est la différence a — [3.
Celte différence est donc la limite de la différence qu'on obtient en retranchant deux valeurs approchées correspondantes de ce et de j3, l'approximation - de ces valeurs pouvant
avoir lieu dans un sens quelconque, pourvu que n croisse indéfiniment.
Comme on a, quel que soit n,
on a aussi, à la limite,
et la différence «—(3 e&t bien (19) le nombre qui, ajouté à [3, reproduit oc.
Multiplication. — On veut définir le produit des deux nombres incommensurables a et [3.
Formons les deux produits a„(3„ et oc'„^'„; quand on fait croître n indéfiniment d'une manière quelconque, ils consiiluenl deux séries correspondantes.
Les nombres de la première série, produits des valeurs principales par défaut, ne pouvant décroître d'après la définition de ces valeurs, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, produits des valeurs principales par excès, ne pouvant croître, décroissent en général en res-
mm supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc vers une limite, qui est la même pour les deux suites; car, en s'arrêlant à un rang quelconque, on a
et les deux fractions du second membre de celle identité tendent en même temps vers l'unité (2T2), lorsque n croît indéfinimenl.
C'est cette limite commune qui est le produit a(3.
Ce produit est donc la limite du produit qu'on obtient en mulliplianl deux valeurs approchées correspondantes de a el
de [3, l'approximation - de ces valeurs pouvant avoir lieu
dans un sens quelconque, pourvu que n croisse indéfiniment.
Ce qui précède est évidemment applicable au produit d'un
nombre quelconque de facteurs incommensurables et, par
conséquent, aux puissances d'un nombre incommensurable.
Comme on a
quel que soit n, on a aussi, a la limite,
La valeur du produit a,3, telle qu'on vient de la définir, est donc indépendante de l'ordre des facteurs.
Il en résulte que le théorème fondamental relatif au changement d'ordre des facteurs d'un produit (48), s'étend, avec toutes ses conséquences, au cas d'un nombre quelconque de facteurs incommensurables.
Division. — On veut définir le quotient des deux nombres incommensurables a et (3.
Formons les deux quotients ^ et -^; quand on fait croître
P.T Pn
n indéfiniment d'une manière quelconque, ils constituent deux séries correspondantes.
Les nombres de la première série, ne pouvant décroître
s. et (le C. — Arichm. 12
178 LIVRE IV. - rHArilRIi III.
d'après la définilioii des valeurs principales, croissent en général en restant inférieurs à un nombre quelconque de la seconde série. Les nombres de la seconde série, ne pouvai l croître, décroissent en général en restant supérieurs à un nombre quelconque de la première série. Les nombres des deux séries convergent donc vers une limite, (jui est !a même pour les deux séries; car, en s'arrêlant à un rang quelconque, on a
et nous savons (272) que les deux fractions du second
membre de celte identité tendent en même temps vers l'unité,
lorsque n croît indéfiniment.
C est celle limite commune qui est le quotient -5 •
Ce quotient est donc la limite du quoiieni qu'on oblieni en divisant deux valeurs approchées correspondantes de x et
de |3, l'approximation - de ces valeurs pouvant avoir lieu
dans un sens quelconque, pourvu que n croisse indéfiniment.
Comme on a, quel que soit n,
a„ = p„ . ^T 1 on a aussi, à la limite,
et le quotient -5 est bien (167) le nombre qui, multiplié par [3,
H reproduit a.
Racines. — Nous avons défini (271) la racine /n*^'"" exacte d'un nombre N, entier ou fractionnaire, qui n'est pas une puissance m'^"* parfaite, et nous avons représenté celte racine par le sjinbole "{ N.
Si le nombre commensurableN est remplacé par un nombre
incommensurable 1, nous dirons de même que la racine m'^"'^ exacte de 1 est le nombre incommensurable qui, élevé à la puissance m'*'"^, reproduit ï., et nous représenterons celle racine par "^ï.
]în remplaçant X par des valeurs commensurables de plus en plus approchées, on approche aussi de plus en plus de la
valeur exacte '^ï; c'est ce que nous verrons dans les paragraphes qui vont suivre.
