DES QUESTIONS QUI SE PRÉSENTENT DANS LE CALCUL DES NOMBRES APPROCHÉS

274. Nous avons supposé jusqu'ici qu'on n'avait à opérer que sur des nombres donnés exactement; mais le plus souvent, dans la pratique, il n'en est pas ainsi. La mesure des grandeurs, quelque soin qu'on y apporte, ne conduit presque jamais à des nombres exacts. Il y a d'ailleurs, comme la théorie des racines vient de nous le montrer, des nombres qu'on peut évaluer avec une approximation aussi grande qu'on le veut, mais dont il est impossible d'obtenir la valeur exacte en décimales; la réduction des fractions ordinaires en fractions décimales nous en avait déjà offert un exemple.

On est ainsi conduit à résoudre, pour chacune des six opérations fondamentales, les deux questions suivantes :

1° j^vec quelle approximation peut-on obtenir le résultat d'une opération à effectuer sur des nombres qui sont donnés cliacun avec un certain degré d'approximation P

2° Avec quelle approximation est-il nécessaire d'évaluer les données d'un calcul, pour obtenir le résultat avec un degré d' approximation déterminé?

Pour ce qui regarde l'addition et la soustraction, la solution de la deuxième question est donnée immédiatement par les règles des n°= 216 et 217 ; la première question n'offre pas plus de difficultés. Dans l'addition, il est évident que les erreurs s'ajoutent ou se retranchent, suivant qu'elles sont de même sens on A& sens contraires; l'erreur dont une somme est alîectée est donc au plus égale à la somme des erreurs des parties qui la composent. Si, par exemple, il s'agit d'additionner dix nombres au plus, et que ces nombres soient approchés à 0,001

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près par dcfaul, l'erreur commise sur la somme sera moindre que 0,001 X 10, ou que 0,01 ; on aura donc celle somme à 0,01 près, en supprimanl le chifTrc des millièmes el en augmentani d'une uniié le chiffre précédenl, ainsi que cela a élé expliqué au n" 216. Dans la souslraciion, les erreurs s'ajouieni ou se relranchent, suivanl qu'elles sonl de sens contraires ou de même sens; l'erreur qui affecte la différence de deux nombres est donc au pi is égala à la somme des erreurs commises sur ces nombres.

La solution des mêmes questions, pour ce qui concerne la multiplication, la division, les puissances el les racines, se déduit très-simplement de la considération des erreurs relatives dont nous allons nous occuper.