DES ERREURS RELATIVES

275. L'erreur dont un nombre approché est affecté esl dite y erreur absolue de ce nombre; cette erreur absolue esl ainsi égale à la différence du nombre approché et du nombre exact.

On nomme erreur relative d'un nombre approché le quotient de la division de l'erreur absolue par le nombre exact. Il s'ensuit que l'erreur absolue est égale au produit de l'erreur relative par le nonibre exact.

C'est d'après l'erreur relative, et non d'après l'erreur absolue, qu'il faut juger du degré de précision obtenu dans la mesure d'une grandeur. Supposons qu'ayant eu à mesurer deux longueurs, l'une de 1000 mètres et l'autre de 100 mètres, on ait commis dans chaque cas une erreur absolue de i mètre. Partageo-ns la longueur de 1000 mètres en dix parties égales de îoo mètres chacune, et distribuons uniformément l'erreur de t mètre sur chaque partie : l'erreur sera de i dixième de mètre pour chacune. Donc, bien que, dans les deux mesures dont il s'agit, l'erreur absolue soit la même, la première mesure doit être regardée comme plus précise que la seconde; c'est ce qu'on aperçoit immédiatement en considérant l'erreur relative

qui est dans le premier cas et dans le second.

276. Il est utile de savoir assigner immédiatement une limite supérieure de l'erreur relative d'un nombre approché, quand

CALCUL DES NOMBRES APPROCHES. i8i

on connaîi une limite supérieure de l'erreur absolue; tel est l'objet de la proposition suivante, qui est fondamentale :

I. Si, dans un nombre approché, le premier chijfre signijîcatifàgauche est exact, et qu 'à partir de ce chiffre il y^ ait encore n chiffres exacts, l'erreur relative est moindre que l'unité divisée par le premier chiffre à gauche du nombre, sitivi de n zéros.

Considérons, par exemple, le nombre exact 5467,342376. Si nous ne conservons que les trois premiers chiffres à gauche, nous obtenons le nombre approché 5460. L'erreur absolue est moindre que 10 ; le nombre exact est d'ailleurs plus grand qua 5ooo : donc l'erreur relati^»e est moindre que 10 : 5ooo ou que

-z — ) comme 1 indique la proposition énoncée.

Si, dans le même nombre exact 5467,342376, nous conservons les six premiers chiffres à gauche, nous obtenons le nombre approché 5467,34. Ici l'erreur absolue est moindre que 0,01, le nombre exact étant d'ailleurs plus grand que5ooo;

l'erreur relative est moindre que o ,oi : 5ooo ou que -p ^•

' 5oooo

Considérons encore le nombre o,oo853, qui est approché à une unité près de l'ordre de son dernier chiffre à droite. L'erreur absolue de ce nombre est moindre que 0,00001 ; d'ailleurs le nombre exact est plus grand que 0,00800; donc l'erreur relative est moindre que 0,00001 : 0,00800 ou que r;; — • ^ 000

Le premier chiffre à gauche d'un nombre approché figure seul, comme on le voit, dans notre limite de l'erreur relative. Souvent, pour plus de simplicité, on substitue 1 à ce chiffre. Ainsi, le nombre o,oo853, dont les cinq chiffres sont exacts,

est affecté d'une erreur relative moindre que 7; — •; cette erreur

relative est, à plus forte raison, moindre que

277. Nous avons encore besoin, pour l'objet que nous avons en vue, de savoir assigner réciproquement une limite supérieure de l'erreur absolue d'un nombre approché, quand on connaît une limite supérieure de l'erreur relative; la solution

iH> LIVRE IV. — ClIAIMTRIi 111.

de celle seconde queslion esl renfermée dans la proposition suivante :

II. Si l'erreur relative d'un nombre approché est moindre que l'unité divisée par un chiffre suivi de n zéros, on peut compter sur l'exactitude des n premiers chiffres significatifs à franche du nombre approché; quelquefois même on peut compter sur un chiffre de plus.

Supposons que l'erreur relative d'un nombre approché soit

inférieure à ; si le premier chiffre à gauche du nombre

rpnroché esl inférieur à 7, on peut compter sur l'exactitude des cinq premiers chiffres à gauche, c'est-à-dire que l'erreur absolue dont le nombre esl affecté est moindre qu'une unité de l'ordre du cinquième chiffre. Si, au contraire, le premier chiffre à gauche du nombre approché est égal ou supérieur à 7, on ne peut compter que sur les quatre premiers chiffres.

i°Soil le nombre approché 5467,342376, dont l'erreur relative est inférieure à - • L'erreur absolue de ce nombre est 70000

moindre que la 70000^ partie du nombre exact; d'ailleurs celui-ci est moindre que 7000 ; donc l'erreur absolue est moindre

que X 7000, c est-a-dire moindre que 0,1.

Puisqu'on ne peut pas répondre de l'exaciilude des cinq derniers chiffres à droite du nombre 5467,342376, il esl inutile de conserver ces chiffres. A la vérité, en substituant 5467,3 à 5467,342376, on commet une nouvelle erreur qui s'ajoute à l'erreur dont ce dernier nombre est affecté, ou qui s'en retranche, suivant que le nombre est apj)roché par défaut ou par excès. Dans le premier cas, il faut augmenter de i le dernier chiffre conservé; dans le second cas, au contraire, on doit prendre ce chiffre tel qu'il est. Si l'on ignore le sens de l'erreur qui affecte le nombre 5467,342376, on lui substituera l'un quelconque des deux nombres 5467,3 et 5467,4; on pourra alors commettre une erreur supérieure à 0,1, mais cette erreur sera certainement plus petite que 0,2.

2° Soit le nombre approché 789,342376, dont l'erreur relative est inférieure à . Le nombre exact étant inférieur

CALCUL DES NOMBRES APPROCHÉS. i83

à 7000, l'erreur absolue est moindre que X7000, c'esl-

à-dire moindre que 0,1. On peut donc compter sur l'exacii-

lude des quatre premiers chiffres à gauche, dans le sens qui a

été indiqué plus haut.