ERREUR RELATIVE D'UN PRODUIT OU D'UN QUOTIENT

278. 1. L'erreur relative du produit de deux facteurs, l'un exact, l'autre approché, est égale à l'erreur relative du facteur approché.

Considérons le produitrttdont les deux facteurs sont exacts. Substituons au premier facteur une valeur approchée par défaut, a — a par exemple. Le produit approché correspondant sera (« — a] 6 ou (46) «6 — ab. L'erreur absolue de ce produi

approché est donc y.b et son erreur relative (275) —v ou ->

ce qui démontre la proposition énoncée.

Le même raisonnement s'applique évidemment au cas où le facteur inexact est approché par excès.

279. IL L' erreur relative du produit de deux facteurs, approchés tous deux par défaut, est moindre que la somme des erreurs relatives de ces facteurs.

Considérons le produit «6 dont les deux facteurs sont exacts. Substituons au premier facteur la valeur « ^ a et au second la valeur 6 — (3. Le produit approché correspondant sera

(a — 5:)X(6 — (3) ou (46, 27) ah — y.h — ap -^ 0^^.

L'erreur absolue de ce produit approché est donc

ah -h a^ — <y.^

et son erreur relative

ocb-h aâ— x'i V. S (x &

■: ' ou - -+- Ç X ^^

ao a b a b

ce qui démontre la proposition énoncée.

On voit, en même temps, que l'erreur relative du produit de deux facteurs approchés par défaut est égale à la somme des erreurs relatives des deux facteurs, diminuée du produit de ces mêmes erreurs.

j84 livre IV. - CHAPITRE III.

On démontrerait, par un raisonnement identique, que :

L'erreur relative <lu produit de deux facteurs approchés par excès est égale à la somme des erreurs relatives des deux facteurs, augmentée du produit de ces mêmes erreurs;

Et que •

L'erreur relative du produit de deux facteurs approchés, l'un par défaut, l'autre par excès, est égale à la différence des erreurs relatives des deux facteurs, augmentée ou diminuée du produit de ces ntêmes erreurs.

280. Dans les calculs qui exigent une grande précision, les erreurs relatives des nombres approchés, sur lesquels on doit opérer, sont généralement des fractions très-peliies, et alors le produit de deux de ces erreurs est très-petit reiaiivement à chacune d'elles. Si l'on néglige ce produit, on obtient la proposition suivante, qui s'applique à tous les cas:

L'erreur relative d'un produit de deux facteurs est égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives des facteurs.

L'inexactitude dont celle proposition paraît entachée ne pei;t avoir aucune influence dans les applications que l'on en fait. On sait d'ailleurs quelle est la quantité que l'on néglige, et il serait aisé, dans chaque cas, de vérifier qu'elle n'a, en général, aucune importance.

On déduit immédiatement de là que :

L'erreur relative d'un produit d'un nombre quelconque de facteurs est égale à la somme des erreurs relatives des facteurs approchés dans un sens, diminuée de la somme des erreurs relatives des facteurs approchés en sens contraire.

Soient, par exemple. A, B, G les facteurs approchés par excès et M, N les facteurs approchés par défaut. On peut considérer le produit A. B.C. M. N comme le produit des deux fadeurs (A.B.C) et (M.N). L'erreur relative du premier facteur est, d'après ce qui précède, la somme des erreurs relatives de (A.B) et de C, c'est-à-dire la somme des erreurs relatives des facteurs A, B, C. De même, l'erreur relative du second facteur est la somme des erreurs relatives de M et de N. La proposition énoncée est donc vérifiée, puisque, des deux facteurs (A.B.C) et (M.N), l'un est approché par excès et l'autre par défaut.

On voit <iue, dans tous les cas, on a une limite supérieure

CALCUL DES NOMBRES APPROCHÉS. iS5

de l'erreur relative d'un produit en prenant la somme des erreurs relatives des facteurs approchés. C'est celle limite qu'on adopte dans la pratique.

281. L'erreur relative du quotient de deux nombres approchés est égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

En effet, le dividende étant le produit du diviseur par le quotient, son erreur relative est (279) la somme ou la différence des erreurs relatives du diviseur et du quotient. L'erreur relative du quotient est donc, réciproquement, la différence ou la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

Dans tous les cas, on a une limite supérieure de l'erreur relative du quotient en prenant la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur. C'est cette limite qu'on adopte dans la pratique.

Si le dividende est exact, son erreur relative est nulle; l'erreur relative du quotient est alors égale à l'erreur relative du diviseur.

Si le diviseur est exact, l'erreur relative du quotient est rigoureusement égale à l'erreur relative du dividende, ainsi que cela résulte du n" 278.