MULTIPLICATION ET DIVISION DES NOMBRES APPROCHÉS

282. Pour connaître le degré d'approximation avec lequel on peut obtenir le produit ou le quotient de deux nombres approchés, il suffit, d'après ce qui précède, de déterminer une limite supérieure de l'erreur relative de chacun de ces nombres. On pourra alors en déduire (280,281) une limite supérieure de l'erreur relative du produit ou du quotient cherché, et savoir, par cette limite, sur combien de chiffres exacts il est permis de compter au résultat (277).

Au point de vue pratique, les théorèmes suivants résolvent très-simplement, pour la multiplication et la division, les deux questions posées au n''274.

283. I. Pour obtenir avec m chiffres exacts le produit ou le quotient de deux nombres approchés, il suffit de connaître ces deux nombres avec m -h i chiffres exacts.

En effet, pour que le résultat cherché renferme m chiffres

iS() LIVRE IV. - CHAPITRE ÎII.

exacts, il suffit (277) que son erreur relative soit moindre que

- et, par suite (280, 281), que l'erreur relative de chacun

des nombres donnés soit inférieure à — Or, c'est ce qui

a lieu, lorsque chacun de ces nombres est pris avec m -i- 2

phifFres exacts, puisque, pour chacun d'eux, l'erreur relative

est alors (276) moindre que — -r-, et, à plus forte raison,

moindre que

28i. Le plus souvent, dans la pratique, il suffit d'avoir chacun des deux nombres donnés avec m -4- 1 chiffres exacts. En effet, la seule condition qui leur soit imposée est de pré-

senler séparément une erreur relative momdre que •

Or, lorsque le premier chiffre à gauche de l'un de ces nombres

est plus grand que i, son erreur relative est, dans l'hypothèse

énoncée, moindre que (276).

De même, lorsque l'un des nombres donnés est exact, il suffit toujours de prendre l'autre nombre avec m + i chiffres exacts. En effet, l'erreur relative du premier nombre étant nulle, il suffit de rendre l'erreur relative de l'autre nombre

moindre que ■ — - pour obtenir le résultat cherché avec m chiffres exacts.

285. II. Réciproquement, le produit ou le quotient de deux nombres approchés peut être obtenu avec m — 2 chiffres exacts, lorsque celui des deux nombres qui contient le moins de chiffres exacts en contient m.

En effet, l'erreur relative de chacun des nombres donnés

est alors moindre que -et, par suite, l'erreur relative du

résultai cherché n'atteint pas : et, à plus forte raison,