xVpi'lications
1° Calculer, à moins de o,oi, le produit
La partie entière de P ayant évidemment 4 chiffres, on demande le résultat avec 6 chiffres exacts. D'après la règle du n° 283, on devrait donc calculer chacun des facteurs icoott et v/5 — i avec 8 chiffres; mai?, le dernier seul commençant piir i, il suffira (28i) de calculer le premier avec 7 chiffres. On aura ainsi, par défaut, iooott == 3i4i,592 et y'â — 1 = 1 ,2^60679. Par suite, en désignant par x une quantité moindre que 0,01, on peut éciire
Il y a lieu alors de se servir delà méthode de la multiplication abrégée (219), pour calculer le produit 3i4i,592 x 1,2360679 à 0,01 près.
Mais ici se présente une remarque. « désigne l'erreur qui résulte du nombre de chiffres pris dans les deux facteurs approchés. La multiplication abrégée en introduit une seconde, également inférieure à 0,01.
Il faut évidemment faire en sorte que ces doux erreurs soient de sens contraires, pour pouvoir airiimer que le produit P est obtenu à moins de 0,01, par défaut ou par excès.
Or, les deux facteurs considérés étant approchés par défaut, a rcpré-
CALCUL DES NOMBRES APPROCHÉS. i8y
sente une erreur par défaut. D'ailleurs, sur le produit abrégé 3883,2199, l'erreur par défaut est moindre (219) que
ou que 34 dix-milliènaes. Le produit 3141,592x1,2860679 est donc compris entre 8883,2199 et 3883,2233. En prenant pour ce produit 3883,2233, l'erreur par excès est au plus de 34 dix-millièmes; en prenant 3883,23, cette erreur par excès a pour limite supérieure loi dix-millièmes; mais la compensation s'établit ainsi par rapport à a, et 3883,23 représente le produit demandé P à 0,01 près, par défaut ou par excès.
Si les deux facteurs donnés avaient été approchés par excès, a aurait désigné une erreur par excès, et il aurait fallu, au contraire, prendre P égal à 3883,22.
2° Calculer à moins de 0,1 le pi-Mhdt
La partie entière de P ayant évidemment 6 chiffres, on veut le résultat avec 7 chiffres exacts. Comme un seul des facteurs est approché, il faut calculer ce facteur (28i) avec 8 chiffres et prendre v/2 = i,4i42i85 par défaut. En désignant par a une quantité moindre que 0,1, on aura donc
En employant la multiplication abrégée, on trouve
L'erreur qu'entraîne l'opération abrégée est moindre que i5 millièmes, car les trois premiers produits partiels sont exacts; par suite, le produit considéré est compris entre 877221,074 et 877221,089. Pour compenser l'erreur par défaut a, on doit prendre ce produit par excès et égal à 877221,1. Telle est la valeur de P à 0,1 près, par défaut ou par excès.
3° Calculer, avec la plus grande approximation possible^ le quotient
sachant que le dividende et le diviseur sont approchés l'un et l'autre à moins d'une unité de l'ordre de leur dernier cidffre, le premier par défaut, le second par excès.
Aucun des deux nombres donnés ne commençant par i, et celui qui contient le moins de chiffres exacts en contenant 4, on voit (286) qu'on peut compter au quotient sur 3 chiffres exacts; comme il a évidemment un seul chiffre à sa partie entière, on doit donc le calculer à 0,01 près. D'ailleurs, le dividende étant donné par défaut et le diviseur par excès,
19" LIVRE IV. - CIlAriTIΠIII.
ce quotient sera oDlenu p;ir défiiut. En désignant par Q le quotient exact et par a une (juantité moindre que 0,0 1, on aura
Si l'on emploie alors la méthode de la division abrégée (221 ), on devra prendre par excès le quotient correspondant, afin de compenser l'erreur par défaut a.
L'opération abrégée donnant pour quotient i,5o, à 0,01 près par défaut, la valeur de Qsera i,5i à 0,01 près, par défaut ou par excès.
On peut souvent savoir le sens de l'erreur du quotient fourni par la division abrégée. Ainsi, dans le calcul précédent, l'erreur par défaut de
ce quotient est représentée (221) par - ■■, et son erreur par excès a
pour limite supérieure ^^7—^) de sorte qu'il est bien obtenu par défaut. 3i4iD '
Mais il peut arriver qu'on ne connaisse pas le sens de l'erreur commise sur les deux nombres donnés. On ne sait pas alors si a est une erreur par défaut ou par excès; on ne peut donc pas décider entre la valeur par défaut et la valeur par excès du quotient fourni par la division abrégée. En prenant l'une d'elles, on peut seulement affirmer que l'erreur commise sur Q est moindre que 2 unités de l'ordre du dernier chiffre conservé.
On se trouve encore dans le même cas lorsqu'on ne peut pas répondre du sens de l'erreur commise dans la division abrégée.
4° Calculer, ai>ec i3 décimales exactes, le quotient
Le premier chiffre significatif du quotient représentant des cent-millièmes, et les chiffres significatifs d'un nombre décimal comptant seuls dans l'évaluation de l'erreur relative, on voit qu'on demande 9 chiffres exacts au quotient cherché. Le dividende tt étant seul approché, on doit (284) le prendre avec 10 chiffres, par défaut, c'est-à-dire poser t: — 3,ï4i59'/653. En effectuant alors la division abrégée, on obtient un quotient par excès 0,00004848 1 368 1, qui représente le quotient cherché à moins d'une unité du treizième ordre, par défaut ou par excès.
5° Calculer, à moins d'une unité, le produit
P = 1000 TT (v'5 — i) \/3.
La partie entière de ce produit ayant évidemment 4 chilTres, on veut le calculer avec 4 chiffres exacts. Il suffirait donc de prendre chaque facteur avec 6 chiffres (289); mais on peut aussi regarder P comme le produit des deux facteurs iooo7r(\/5 — i) et v/3. Le dernier facteur commençant seul par i, on le prendra avec 6 chiffres, et le premier avec 5 seulement (284). Nous avons déjà trouvé (1") iooo7r(v/.5 — i) = 3883, 'i par défaut; d'ailleurs \/3 = i,732o5 par défaut : on a donc P = 3883,2 X I ,70205 -f- a,
en désignant par a une quantité moindre que i. Il reste donc à calculer le produit 3883,2 x i ,73206, à l'unité près, par excès, en employant la multiplication abrégée. On trouve ainsi P = 6726 à moins d'une unité, par défaut ou par excès.
