RACINE CARRÉE ET RACINE CUBIQUE DES NOMBRES APPROCHÉS

292. I. Pour obtenir la racine carrée d'un nombre avec m chiffres exacts, il suffit de connaître ce nombre avec m + i ou avec m chiffres exacts, suivant que son premier chiffre significatif à gauche est ou n'est pas moindre que 5.

En effet, pour pouvoir compter sur m chiffres à la racine cherchée, il suffit que l'erreur relative de cette racine soit

moindre que — -•-, c'est ce qui arrivera (291) si l'erreur relative

iy^ LIVRE IV. — CHAPITRE III.

sur le nombre dont on extrait la racine est moindre que -

ou que -r ■• Or, en prenant ce nombre avec m + i chiffres

exacts, son erreur relative est louiours moindre que et, à

J ^ lO™

plus forte raison, que ^ — • Si le nombre donné com-

mence par un chiffre égal ou supérieur à 5, il suffit de le prendre avec m chiffres exacts; car alors (276) son erreur

relative est moindre que ■= •

293. II. Réciproquement, étant donné un nombre approché avec ni chiffres exacts, on peut calculer sa racine carrée avec m — i ou avec m chiffres exacts, suivant que le premier chiffre significatif à gauche de ce nombre est ou n'est pas moindre que 5.

En effet, soit K le premier chiffre significatif à gauche du nombre donné avec m chiffres exacts; l'erreur relative de ce

nombre est moindre que ., , et, par suite (291), l'erreur

K.io'"""'

relative de sa racine carrée est inférieure à — j, • Cette

erreur étant toujours moindre que — --•> on peut toujours

compter sur m — i chiffres à la racine. Mais si K est au moins égal à 5, l'erreur relative de la racine carrée devient inférieure

à - — -5 et l'on peut alors compter sur m chiffres à la racine. 10"

294. Les deux théorèmes précédents sont applicables à la racine cubique. On peut même alors substituer le chiffre 4 au chiffre 5 qui figure dans leurs énoncés.

293. Il est utile de faire remarquer combien les propositions que nous venons d'indiquer simplifient les règles données aux n"^ 2i8, 249 et 2G9, pour l'évaluation en décimales de la racine carrée ou de la racine cubique d'un nombre quelconque.

CALCUL DES NOMBRES APPROCHÉS. i93