PROPRIÉTÉS DES RAPPORTS
323. On nomme rapport d'une grandeur à une autre grandeur de même espèce le nombre par lequel il faut multiplier la seconde pour avoir la première.
324- Le rapport de deux grandeurs de même espèce est ^gal au nombre qui mesure la première lorsqu'on prend la seconde pour unité.
Supposons d'abord le rapport donné commensurable et égal
à -• La première grandeur, étant égale à la seconde multipliée
par ^ est les - de cette seconde grandeur; - est donc le
nombre qui mesure la première grandeur lorsqu'on prend la
seconde pour unité.
Si le rapport donné est un nombre incommensurable r, il
k tombe entre deux nombres commensurables, tels que - et
' "^ ' (226); si l'on désigne par A et B les deux grandeurs considérées, on a donc
Si l'on prend B pour unité, les deux grandeurs commensu-
râbles qui comprennent A sont mesurées par - et *,
par suite, le nombre qui mesure A quand on prend B pour
unité est aussi compris entre - et -, et ion ne peut
admettre entre ce nombre et le rapport r aucune différence
DES RAPPORTS ET DES PROPORTIONS. *i5
assignable, puisqu'on peut rapprocher autant qu'on veut leurs limites communes en prenant n assez grand.
325. Il résulte de la proposition précédente que, lorsque deux grandeurs de même espèce ont été mesurées avec une même unité, on obtient leur rapport en divisant le nombre qui mesure la première par le nombre qui mesure la seconde.
En effet, si les rapports des grandeurs A et B à la grandeur C prise pour unité sont représentés par les nombres a et 6, on a
d'où l'on déduit immédiatement
Le quotient j exprime donc le rapport des deux grandeurs
A etB.
C'est ainsi qu'on est conduit à appeler rapport de deux nombres a et 6 le quotient de leur division. Par exemple, le
rapport du nombre -j au nombre - est ,Z[ \ le premier
nombre 7- est le numérateur An rapport, le deuxième nombre
-en est le dénominateur. Ces dénominations sont naturelles:
on a vu effectivement que les fractions ordinaires à termes
entiers ne sont autre chose que des quotients ou des rapports.
