GRANDEURS PROPORTIONNELLES

3i6. Lorsque deux grandeurs varient simullanémenl el de telle manière que deux valeurs quelconques de la première grandeur soient dans le même rapport que les valeurs correspondantes de la seconde, on dit que les grandeurs dont il s'agit sont proportionnelles l'une à l'autre ou (\\x elles varient dans le même rapport.

Ainsi le salaire d'un ouvrier est proportionnel à la durée de son travail.

L'espace parcouru par un corps qui se meut avec une vitesse constante est proportionnel à la durée de son mouvement.

La longueur de la circonférence de cercle est proportionnelle à son diamètre.

Dans les exemples précédents, comme dans tous ceux qu'on peut citer, on admet la proportionnalité des grandeurs considérées comme un fait qui est connu ou qui résulte d'une convention. La démonstration de cette proportionnalité n'est pas du ressort de l'Arithmétique; elle appartient, dans chaque cas, à la science qui traite des grandeurs que l'on considère. On peut, cependant, s'assurer souvent de la proportionnalité de deux grandeurs à l'aide de la proposition que nous allons développer.

347. Soient deux grandeurs A el B (de même espèce ou d'espèce différente) qui sont supposées proportionnelles. Soient A, et Aj deux états ou deux valeurs quelconques de la première grandeur, B, et Bj les valeurs correspondantes de la

s. et de C. — Arichm. ^^

ii(S LIVRE V. - CHAPITRE IV.

seconde grandeur. On a, par hypoihèse (34-G),

Si nous désignons par q le quoiieni commun, on peut écrire

A2=: Ai^,

Donc, lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, en multipliant par un même nombre quelconque deux valeurs correspondantes de ces grandeurs, on obtient deux nouvelles valeurs correspondantes.

Réciproquement, si cette condition est remplie, les deux grandeurs considérées sont proportionnelles; car on déduit alors inimédiaiement des égalités précédentes

On obtient ainsi ce théorème .

Deux grandeurs sont proportionnelles si elles sont liées l'une à l'autre de manière que, une valeur quelconque de l'une étant multipliée par un nombre quelconque, la valeur correspondante de l'autre soit nécessairement multipliée parle même nombre.

De plus, il suffît (ce qui simplifie beaucoup l'application de ce théorème) que la condition indiquée soit remplie lorsqu'on choisit pour multiplicateur un nombre entier, pour qu'elle le soit forcément quand ce multiplicateur devient un nombre fractionnaire ou incommensurable.

En effet, soient A, et B, deux valeurs correspondantes des

grandeurs considérées A et B. Si l'on multiplie A, par la frac-

lion -^ on obtient la grandeur — En multipliant cette dern n

nière grandeur par l'entier n, on revient à la grandeur A,. Il faut donc, d'après l'hypothèse, que la valeur de B qui correspond à — soit telle, qu'en la multipliant par n on retrouve la grandeur B, qui correspond à A,; cette valeur correspondante

est donc — n

GRANDEURS QUI VARIENT DANS LE .^lÈME RAPPORT, ETC. 227 Prenons maintenant pour mulliplicaleur le nombre fractionnaire — On commencera par multiplier les deux grandeurs

correspondantes A, etB, par -? et l'on obtiendra deux valeurs

correspondantes — et — ? qu'il faudra à leur tour multiplier

par l'entier m pour obtenir les deux valeurs correspondantes

m A, mBi

et

n II

Supposons enfin que le multiplicateur soit un nombre incommensurable r. Ce nombre (226) tombe entre les deux nombres commensurables - et Si l'on part des grandeurs

correspondantes A, etB,, les grandeurs -A, et A, correspondront aux grandeurs - B, et B,, d'après l'alinéa

précédent; par suite, la grandeur rA, comprise entre les deux premières correspondra à la grandeur /-B, comprise entre les deux autres, puisqu'en prenant n assez grand les deux limites des grandeurs rA, et rB, diffèrent aussi peu qu'on veut, tout en continuant de se correspondre.

348. Rapportons à une certaine unité de même espèce chacune des grandeurs proportionnelles A et B, et représentons par a,, «2, 6,, bt les nombres qui mesurent les valeurs particulières A,, A2, Bi, Bj. Nous aurons alors (325, 332)

lit bi

En échangeant les moyens, cette proportion numérique devient

Les valeurs considérées étant quelconques, on peut donc dire que, lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, le rapport de leurs valeurs aunit-riques correspondantes est constant.

Ainsi, en désignant par a et b deux valeurs numériques

quelconques, mais correspondantes, des grandeurs considérées, on voit que les grandeurs proportionnelles sont caractérisées par la formule générale

r = consl.

Si l'expérience donne deux valeurs particulières des grandeurs proposées, la constante, égale à leur quotient, se trouve déterminée, et l'on connaît la relation numérique qui lie les deux grandeurs. // est utile de remarquer que celte constante est la valeur numérique de a lorsque b devient égal à i.