GRANDEURS INVERSEMENT PROPORTIONNELLES

349. Lorsque deux grandeurs varient simultanément et de telle manière que le rapport de deux valeurs quelconques de la première grandeur soit l'inverse du rapport des valeurs correspondantes de la seconde, on dit que les grandeurs dont il s'agit sont inversement proportionnelles l'une à l'autre ou (\\x' elles varient dans un rapport inverse.

Ainsi le temps nécessaire à l'accomplissement d'un certain travail est inversement proportionnel au nombre des ouvriers employés.

Le temps employé par un corps qui se meut d'un mouvement uniforme à parcourir un espace donné, est inversement proportionnel à la vitesse.

La force en vertu de laquelle la Terre et les autres planètes se meuvent dans leurs orbites est inversement proportionnelle au carré de leur distance au Soleil.

On peut souvent s'assurer que deux grandeurs sont inversement proportionnelles à l'aide de la proposition suivante.

350. Soient deux grandeurs A et B (de même espèce ou d'espèce différente) qui sont supposées inversement proportionnelles. Soient À, et A, deux étals ou deux valeurs quelconques de la première grandeur, B, et B, les valeurs correspondantes de la seconde grandeur. On a, par hypothèse (349),

GRANDEURS QUI VARIENT DANS LE MÊME RAPPORT, ETC. 2^9 Si nous désignons par q le quotient commun, on peut écrire

A2=A,<jr,

Donc, lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, en multipliant et en divisant respeciivemenl par un même nombre quelconque deux valeurs correspondantes de ces grandeurs, on obtient deux nouvelles valeurs correspondantes.

Réciproquement, si celle condition est remplie, les deux grandeurs considérées sont inversement proportionnelles; car on déduit alors immédiatement des égalités précédentes

On obtient ainsi ce théorème :

Deux grandeurs sont inversement proportionnelles, si elles sont liées l'une à l'autre de manière que, une valeur quelconque de l'une étant multipliée par un nombre quelconque, la valeur correspondante de Vautre soit nécessairement divisée par le même nombre.

De plus, // suffit ( ce qui simplifie beaucoup l'applicalion de ce théorème) que la condition indiquée soit remplie lorsqu'on emploie comme multiplicateur et diviseur un nombre entier, pour qu'elle le soit forcément quand ce nombre entier est remplacé par un nombre fractionnaire ou incommensurable.

C'est ce qu'on établit facilement en imitant les raisonnements faits au n^ 3i7.

En effet, soient A, et B, deux valeurs correspondantes des grandeurs considérées A et B. Si l'on multiplie A, par la frac- 1 \

tion -•) on obtient la grandeur — • En multipliant cette dern n

nière grandeur par l'entier n, on revient à la grandeur A,. Il faut donc, d'après l'hypothèse, que la valeur de B qui correspond à — soit telle, qu'en la divisant par n on retrouve la n

grandeur B, qui correspond à A,; cette valeur correspondante est donc nBi.

i3o LIVRE V. - CHAPITRE IV.

Prenons mainlenanlle nombre fractionnaire — • Si l'on divise

A, par 7^ on multiplie B, par n d'après l'alinéa précédent, et

l'on obtient les deux valeurs correspondantes — et nB,. SI

l'on multiplie alors la première par l'entier m, il faut diviser

la seconde par m, de sorte que les deux nouvelles valeurs cor-

. 7??Ai nB,

respondanies sont et

Supposons enfin que l'on multiplie A, par le nombre incommensurable r. Ce nombre tombe entre les deux nombres com-

mensurables - et D'après ce qui précède, les grandeurs

k . h- -\- ï , . B, B, „ -A, et A, correspondront aux grandeurs -y- et -, Par

suite, la grandeur rA, comprise entre les deux premières correspondra à la grandeur —^ comprise entre les deux autres, puisque, pour n assez grand, les deux limites des grandeurs rA, et —^ diffèrent aussi peu qu'on veut, tout en ne cessant pas de se correspondre.

351. Si nous représentons par«,, a^, 6,, b^ les nombres qui mesurent les valeurs particulières A,, Aj, B,, B„ lorsqu'on rapporte à une certaine unité chacune des grandeurs inversement proportionnelles A et B, nous aurons

ou (334]

Les valeurs considérées étant quelconques, on peut donc dire que, lorsque deux grandeurs sont inversement proportionnelles, le produit de leurs valeurs numériques correspondantes est constant.

Ainsi, en désignant par a et h deux valeurs numériques quelconques, mais correspondantes, des grandeurs considé-

fi\b,.

GRANDEURS QUI VARIENT DANS LE MÊME RAPPORT, ETC. aSi

rées, on voit que les grandeurs inversement proportionnelles sont caractérisées par la formule générale

ab = const.

Si l'expérience donne deux valeurs particulières des grandeurs proposées, la constante, égale à leur produit, se trouve déterminée, ei l'on connaît la relation numérique qui lie les deux grandeurs. // est utile de remarquer que cette constante est la valeur tiuniérique de a lorsque b devient égal à i.