RÈGLES DE TROIS COMPOSÉES

353. La question (2'') du n° 333 est le type général des règles de trois composées.

Soient M, A, B, P, Q les grandeurs considérées : M varie dans le même rapport que  et B et dans le rapport im'ersede P et de Q{332). On connaît une série m^, a,, b,, pi, q, de valeurs numériques correspondantes de ces grandeurs, et l'on demande de calculer la valeur x de M qui correspond à une nouvelle série de valeurs 02, 6., p-i, q^ des autres grandeurs.

Si l'on considère seulement M et A et si l'on suppose (332) que les autres grandeurs conservent les valeurs 6,, />,, q^ on voit que, A passant de la valeur a, à la valeur a^, M passera de la valeur m^ à une valeur X, qui satisfera (33i) à la relation

Si l'on considère maintenant M et B, les autres grandeurs conservant les valeurs a:, p,, q^, et B passant de la valeur è, à la valeur 62, M passera de la valeur X à une valeur X', qui satisfera de même (33i) à la relation

Comparons AI et P. Les autres grandeurs conservant les valeurs «2, bi, q,, si P passe de la valeur p, à la valeur p^, M passera de la valeur X' à une valeur X" déterminée (33i-) par la relation

Enfin, si l'on considère M et Q, et si les autres grandeurs conservent les valeurs «„ b^, p^, on voit que, Q passant de la valeur q, à la valeur q^, M passe par la valeur X" à la valeur demandée x, qui correspond à la série a., b.,, p^, q^. Cetle valeur de X satisfait d'ailleurs (3oi) à la relation

Pour faire disparaître les inconnues auxiliaires, il suffit de

lïiulliplier membre à membre loiiles les éjjalilcs précédenics. En supprimant dans les deux membres de l'égalilé résullanle le fadeur commun XX'X", on trouve

(U hi », <7, jc = /», — 7- i— Ja, b, /;,

Ainsi, dans le cas d'une règle de (rois composée, l'inconnue X s'obtient en multipliant la valeur connue de même espèce que x par les rapports des nouvelles valeurs aux anciennes pour les grandeurs proportionnelles à la grandeur de même espèce que l'inconnue, et par les rapports inverses de ceux des nouvelles valeurs aux anciennes pour les grandeurs inversement proportionnelles à cette même grandeur.

On voit que ce résultat général concorde avec les résultats particuliers énoncés au n° 354.

356. Désignons par h la valeur que prend M quand les autres grandeurs A, B, P, Q deviennent toutes égales à l'unité. La formule précédente devient, dans cette hypothèse, en remplaçant m, par k et «,, 6,, ^,, q^ par l'unité,

a-i bj p.q.

X = Jf ,

et elle s'applique à une série quelconque de valeurs correspondantes des grandeurs considérées. On en déduit

xp^q^

L'expérience ayant déterminé une série de valeurs particulières correspondantes des grandeurs proposées, on aura donc le coefficient constant k, et l'on connaîtra la relation numé- ■ rique qui existe entre les grandeurs données.

357. S'il n'entre dans la question que des grandeurs proportionnelles entre elles, on a évidemment

Uibi

c'est-à-dire (3i8) que, lorsqu'une grandeur est proportionnelle à plusieurs autres grandeurs, elle est aussi proportionnelle à leur produit.

De même, s'il n'entre dans la question que des grandeurs inversement proportionnelles entre elles, on a

c'est-à-dire (351) que lorsqu'une grandeur est inversement proportionnelle à plusieurs autres grandeurs, elle est aussi inversement proportionnelle à leur produit.