MÉTHODE DE RÉDUCTION A L'UNITÉ

358. Au point de vue élémentaire, on fait souvent usage, pour résoudre les questions précédentes, de la méthode dite de réduction à l'unité. Elle consiste à chercher, dans le cas des règles de trois simples, la valeur de la grandeur de même espèce que l'inconnue qui correspond à une valeur de l'autre grandeur égale à i, et, dans le cas des règles de trois composées, la valeur de la grandeur de même espèce que l'inconnue qui correspond à des valeurs des autres grandeurs toutes égales à i. On en déduit ensuite facilement l'inconnue ellemême. Cette méthode revient donc, en réalité, à déterminer la constante (3i8, 351 , 336) à l'aide de laquelle on peut établir la relation générale qui lie les grandeurs considérées. Il suffira de l'expliquer sur quelques exemples.

359. Problème I. — Une manufacture a consommé 87000 kilogrammes de charbon pour produire 26700 hilogrammes de porcelaine. Combien brûlera-t-elle de charbon pour produire 75350 kilogrammes de porcelaine P

Les grandeurs qui figurent dans cette question sont la quantité de porcelaine fabriquée et la quantité de charbon brûlé; nous supposerons ces grandeurs proportionnelles.

Pour résoudre la question proposée, on dira : puisque,

pour produire 267oo''5 de porcel., il a fallu 87000*^5 ^ç. charb.,

pour I , il faudra -' — ... ;

donc., pour. . 7535o , il faudra — (^ — X 7535o....

26':oo

Ainsi, le nombre de kilogrammes de charbon demandé est

—^. X 7535o ou 37000 X^S ■■>

c'csl-à-dire io44'756i à 0,01 près.

360. Problème H. — Il a fallu 8 heures à 12 ouiriers pour faire un certain ouvrage. Combien 17 ouvriers meltront-ils de temps à faire le même ouvrage?

Ici les grandeurs considérées sont le temps nécessaire pour faire un certain ouvrage et le nombre des ouvriers qui y sont employés. Nous supposerons ces grandeurs inversement proportionnelles.

Pour résoudre la question proposée, on dira :

Puisque 12 ouvriers emploient 8 heures,

I ouvrier emploiera 8x12 heures;

8X12 Par suite, 17 ouvriers emploieront heures;

8x12 II

le nombre d'heures demande est donc ou 8 X — > c'esl-

à-dire 5^ 39'", à i minute près par excès.

3G1. Problème III. — // a fallu 96 heures à 35 ouvriers pour élever un mur qui a i5 mètres de longueur, 4'">5o de hauteur et o'",75 d'épaisseur. Combien ^1 ouvriers emploieront-ils de temps pour élever un mur ayant 19 mètres de longueur, 3 mètres de hauteur et 1^,10 d'épaisseur .^

Nous supposons ici que le nombre d'heures de travail est proportionnel à chacune des dimensions du mur et inversement proportionnel au nombre des ouvriers. Pour résoudre la question proposée, on dira : Puisque 35 ouvriers emploient g6 heures pour élever un

mur tel qu'il est défini par l'énoncé, ils emploieront^ d'heure

pour élever un mur qui n'aurait que i mètre de longueur, avec la même hauteur el la même épaisseur que le mur indiqué. Si la hauteur s'abaisse aussi à l'unité, ils emploieront

un nombre d'heures égal à ■ ^ • . ^ » Si l'épaisseur est de

I mètre au lieu de o"',']5, le temps nécessaire sera les - du

précédent ou -p 1-^ p» Enfin, si le travail est fait

^ i5x4»5oXo,75

par un seul ouvrier au lieu de 35, le temps demandé sera

35 fois plus considérable, c'est-à dire ^ , ^ ^' Une

^ i5x4>5oXo,75

fois ce nombre obtenu, on voit qu'il doit être multiplié par ig, par 3 et par 1,20, si le mur considéré, au lieu d'avoir i mètre dans tous les sens, a 19 mètres de longueur, 3 mètres de hauteur et i"", 20 d'épaisseur, et que ce même nombre doit être divisé par ^1, si l'on emploie 4^ ouvriers au lieu d'un seul. Le résultat cherché est donc, en prenant l'heure pour unité,

42 X i5x4,5o Xo,75 45

Il est d'accord avec la formule générale du n° 355, qui permet de l'obtenir immédiatement.

362. La méthode de réduction à l'unité peut être employée avec avantage dans certaines questions dont la solution ne saurait être donnée immédiatement par la règle de trois. Nous en présenterons un exemple.

Problème IV. — Sachant que ^5 bœufs ont brouté en 12 jours r herbe d'un pré de 60 ares, et que 81 bœufs ont brouté en iS jours l'herbe d'un pré de 72 ares, on demande combien il faudra de bœufs pour brouter en iS jours l'herbe d'un pré de g6 ares. On suppose que, dans les trois prés, l'herbe est à la même hauteur au moment de l'entrée des bœufs, et qu'elle continue de croître uniformément depuis leur entrée.

Dans chacun des trois prés, l'herbe qui croît en i jour sur I are équivaut à celle qui se trouve actuellement sur une certaine superficie; nous chercherons d'abord cette superficie. Les conditions du problème sont les suivantes :

1° 75 bœufs ont brouté en 12 jours l'herbe d'un pré de 60 ares, plus iiy^Go fois l'herbe contenue dans la superficie cherchée.

2° 81 bœufs ont brouté en i5 jours l'herbe d'un pré de 72 ares, plus i5 X T^fois l'herbe contenue dans la superficie cherchée. '

Or la quantité d'herbe broutée est proportionnelle au nombre des bœufs ainsi qu'au nombre des jours : donc un bœuf broute en i jour, d'après la première condition,

l'herbe d'un uré de =• ares, plus —z de l'herbe contenue

' 12X75 ' ■^ -jj

dans la superficie cherchée, et, d'après la seconde condition,

l'herbe d'un pré de —z-^ — rr-ares, plus ~— de l'herbe contenue ^ i5 X ^i <ii

dans la superficie cherchée.

Ces deux quantités d'herbe doivent être égales entre elles. La première partie est plus grande dans le permier cas que dans le second, et la différence est l'herbe d'un pré de I

Â' — — T- Ti — — 7" are i

I2X 70 i5 X bi 9 X 10

au contraire la seconde partie est plus grande dans le second cas que dans le premier, et la différence est l'herbe contenue dans une fraction de la superficie cherchée égale à

Il faut donc, pour la compensation, que les — -—z de la su- ^ * ^ 9X5

perfide cherchée vaillent ?are; par conséquent cette

superficie est égale à

D'après cela, les quantités d'herbe qui poussent pendant le séjour des bœufs dans les trois prés sont respectivement égales aux quantités d'herbe actuellement contenues dans les

superficies de

= DO ares.

= 90 ares,

^i- = i44 ares;

l'énoncé du problème proposé peut alors être transformé comme il suit :

Sachant que ']5 bœufs ont brouté en 12 Jours l'herbe d'un pré de 120 ares, et que 81 bœufs ont brouté en i5 jours l'herbe d'un pré de 162 ares, on demande combien il faudra de bœufs pour brouter en 18 jours l'herbe d'un pré de 1^0 ares. On suppose que l'herbe est à la même hauteur dans les trois prés, et quelle ne pousse pas pendant le séjour des bœufs.

Le nombre des bœufs est proportionnel au nombre des ares, et inversement proportionnel au nombre des jours : aussi les deux conditions contenues dans l'énoncé qui précède rentrent l'une dans l'autre; la recherche que nous avons faite a eu pour effet de rendre ces deux conditions conciliables. En se bornant donc à la première condition et en appliquant la règle de trois, on trouve pour la valeur du nombre demandé

12 aio 75X -qX -^ = 100.

Il faut ainsi 100 bœufs pour brouter l'herbe du Iroisième pré.

a io LIVRE V. - CHAPITRE V.