DES INTÉRÊTS SIMPLES

363. L'intérêt d\me somme d'argent ou d'un capital est le bénéfice que se réserve celui qui le prête. Ce bénéfice est proportionnel à la somme prêtée; il dépend, en outre, du temps pendant lequel on la prête et d'un troisième élément, nommé taux de l'intérêt, qui est l'intérêt dont on est convenu pour une somme de loo francs placée pendant un an.

On dit que l'intérêt est simple lorsqu'il est proportionnel à la durée du placement.

Les problèmes auxquels donne lieu la considération des intérêts simples appartiennent à la classe de ceux que nous venons d'étudier, et ils peuvent tous se résoudre par une règle générale que nous ferons connaître.

Nous commencerons par indiquer la manière de calculer l'intérêt que rapporte un capital placé à un taux donné pendant un temps donné.

364-. Problème L — On demande l'intérêt d'une somme de 2340 francs prêtée pendant 7 mois au taux de 4 pour 100 par an.

Cet énoncé peut être remplacé par le suivant : 100 francs produisent 4 f'ancs d'intérêt en 12 mois; combien 2340 francs produiront-ils en 7 mois?

L'intérêt du capital étant proportionnel à ce capital, au taux convenu et à la durée du prêt, la solution de la question proposée est contenue dans la règle du n° 355. On trouve ainsi que l'intérêt demandé est égal à

4 X — =^ X — francs, 100 12

c'est-à-dire égal à 54'^',Go.

Si l'on veut résoudre directement la question proposée, on raisonnera comme il suit :

1° Puisque loo francs rapportent. ... 4 francs en 12 mois,

I franc rapportera —t- :

donc 2340 francs rapporteront. . — ^ x 2840.

2° Puisque 2340 francs rapportent 4 X — ~ francs en 12 mois, *^ 100

., , 23io I ,

lis rapporteront 4 X — ^^ X — fr. en i mois; 100 12

donc ils rapporteront 4 X — ^^— X -^ fr. en 7 mois.

363. Formule générale donnant la solution de toutes les questions relatives aux intérêts simples. — Nous allons reprendre le problème que nous venons de résoudre en représentant par des lettres les quantités qui figurent dans la question (*).

Soient donc a le nombre de francs qui composent le capital donné, / le nombre entier ou fractionnaire d'années qui exprime la durée du prêt, r le taux de l'intérêt, enfin / l'intérêt du capital a.

Si l'on veut calculer l'intérêt / en supposant connues les quantités a, r et t, on dira :

1° Puisque 100 francs rapportent.. . r francs en i an,

I franc rapportera.. . . francs en i an:

donc a francs rapporteront Xw francs en i an;

l'intérêt de a francs en i an est donc x«ou

(*) La solution que nous présentons ici est une sorte de préparation à l'étude de l'Algèbre. L'emploi des lettres ne doit être introduit dans les éléments d'Arithmétique qu'avee une grande réserve, et nous n'y avons eu recours jusqu'ici que dans de rares circonstances où il nous a paru utile pour la clarté des explications.

S. et de C. — Arithm. 16

a4a LIVRE V. - CHAPITRE V.

2° Puisque a francs rapportent francs en i an,

^ lOO

(i X /' ils rapporteront X t francs en t ans;

fi ^x^ r rt X! r ^^ t l'intérêt demandé est donc x^ou — Ainsi l'on a

I oo I oo

lOO

Cette égalité est ce que l'on nomme en Algèbre une formule; elle donne immédiatement la solution de toutes les questions relatives aux intérêts simples. Par exemple, pour avoir la solution du problème du n° 364, il suffira de rempla-

cer, dans notre formule, a par 2340, r par 4 et / par -^•

On tire de la formule (i)

si l'on divise de part et d'autre, d'abord par « X ^ puis par A'X /, puis par a X /', on obtient

Les formules (2), (3), (4) ne sont autre chose que la formule (i) écrite d'une autre manière. Au moyen de ces quatre formules, on peut calculer l'une quelconque des quantités a, r, t, i, quand on connaît les trois autres.

366. Problème II. — Une somme de S'jBo francs a rapporté ']ig^^,i5 en 1 ans et 6 mois. On demande quel est le taux de l'intérêt.

Ici l'on a

L'inconnue /-sera donnée par la formule (2); on trouve ainsi

7iQ,25x 100 2877 ^

Le taux demandé est de 7'^%672 pour 100.

367. Problème IIL — Un certain capital prêté pendant 2 ans et 3 mois au taux de 6 pour 100 par an a produit i3i2^%65 d'intérêt. On demande la valeur de ce capital.

On a

L'inconnue a sera donnée par la formule ( 3 ) ; on trouve ainsi

Le capital demandé est 9723'^'',33 à i centime près.

368. Problème IV. — Un capital de 480000 francs prêté pendant un certain temps, au taux de 6 pour 100 par an, a produit un intérêt de 10^2.00 francs. On demande la durée du prêt.

On a

L'inconnue t sera donnée par la formule (4). On trouve ainsi io32oo X 100 7

le temps demandé est donc 3 ans et 7 mois.

369. On peut avoir à résoudre des questions dans lesquelles figure, au lieu de l'intérêt, la valeur du capital placé augmenté de son intérêt. Nous allons en donner un exemple.

Problème. — Quel capital faut-il placer au taux de 5 pour 100 par an, pendant 3 ans et 9 mois, pour avoir une somme de ^Soo francs, intérêt et capital réunis P

La question proposée n'est pas du genre de celles qui dépendent immédiatement de la règle de trois, mais on peut cependant la résoudre très-aisément par le moyen de cette règle.

Remarquons d'abord qu'un capital de 100 francs placé pen-

danl 3 ans 9 mois, au taux 5, produit un inlérèl égal à

5x n -h — j francs, c'esl-à-dire égal à 18^% 75; le capital et

son intérêt donnent donc alors une somme de 1 1 S'"'", 7 5. D'après cela, la question proposée se trouve ramenée à la suivante :

Sachant qu'il faut placer 100 francs à un certain taux et pendant un certain temps pour avoir ii8''", 76, quelle est la somme qu'il faut placer au même taux et pendant le même temps pour avoir /^Soo francs P

Kéduiieà ces termes, la question se résout immédiatement

par la règle du n° 335, et l'on trouve que le capital cherché est

100"^ X — 5 — = ou Aoi^'Sio a I centime près. 110,75 *