MÉTHODE DES HYPOTHÈSES POUR LA SOLUTION DES PROBLÈMES D'ARITHMÉTIQUE

381. Supposons qu'un problème ait pour objet la détermination d'un nombre inconnu, par la condition que deux nombres qui en dépendent soient égaux entre eux.

On parvient souvent à résoudre la question en faisant deux hypothèses arbitraires et successives sur la valeur du nombre

inconnu et en examinnnl les valeurs correspondanies de la difî('rcnce des deux nombres qui devraient être égaux d'après l'énoncé du problème. Nous allons donner deux exemples de celte méthode.

382. 1. On propose de payer 76 francs avec 23 pièces, les unes de 5 francs et les autres de -2. francs.

Le nombre qu'il faut déterminer est ici le nombre des pièces de 5 francs; les deux nombres qui en dépendent, et qui doivent être égaux d'après l'énoncé, sont 76 d'une part et d'autre part la valeur des 28 pièces employées.

Supposons d'abord que le nombre des pièces de 5 francs soit 4- S'il y a quatre pièces de 5 francs, le nombre des pièces de 2 francs est 19, et la valeur des 28 pièces est 4x 4 + '9X2 ou 58. Le nombre 4 ne satisfait donc pas, et la différence des nombres qui devraient être égaux entre eux est 76 — 58 ou 18.

Supposons ensuite que le nombre des pièces de 5 francs soit 7. S'il y a 7 pièces de 5 francs, le nombre des pièces de 2 francs est 16 et la valeur des 23 pièces est 7X5-}- 16 X 2 ou 67. Le nombre 7 ne satisfait donc pas, mais la différence des deux nombres qui devraient être égaux entre eux est seulement 76 — 67 ou 9.

En passant de la première hypothèse à la seconde, le nombre des pièces de 5 francs a augmenté de 3 unités, la différence des nombres qui doivent être égaux a diminué de 9 unités. On en conclut que, pour diminuer cette différence de 18 unilés, c'est-à-dire pour la rendre nulle, il aurait fallu augmenter le nombre des pièces de 5 francs du nombre dont le rapport à 3 est égal au rapport de 18 à 9. Le nombre en question est 6; par conséquent on résout le problème proposé en prenant 10 pièces de 5 francs et i3 pièces de 2 francs, résultat facile à vérifier.

383. IL Nous prendrons pour second exemple le problème qui a été résolu au n° 380

Nous ferons deux hypothèses successives sur la valeur du poids de l'or contenu dans le lingot de 102 grammes.

Supposons d'abord que le lingot renferme 3x 19,26 ou 57,78 grammes d'or; il y aura alors 102 — 57,78 ou 44»22 grammes d'argent. Le lingot étant plongé dans l'eau, il perdra

PROBLËiMES. a53

3 grammes de son poids par le fait de l'or qu'il renferme, et

grammes par le fait de l'argent. La perte totale sera donc

3 -+- , -, elle est trop grande, car sa vraie valeur est de6e'',3. 10,47'

La différence des deux nombres qui devraient être égaux est

donc ICI ^^-^ 3,3 ou - — 7-^ •

Supposons en second lieu que le lingot renferme 4 X iQjSÔ ou 77,04 grammes d'or; il y aura 102 — 77,04 ou 24,96 grammes d'argent. La perle de poids due à l'or sera de 4 grammes,

celle due a 1 argent sera de •. ■ grammes et !a perte totale

sera 4 + , \ elle est encore supérieure à 6,3 et la différence 10,47'

esi-^ 2,3ou-V--

En passant de la première hypothèse à la seconde, le poids

de l'or a augmenté de i95'",26, et la différence des nombres

qui devraient être égaux a diminue de • '-^—, — —^ ou de

— '-—• On en conclut que, pour diminuer cette différence de

2 — 7^5 c'est-à-dire pour la rendre nulle, il aurait fallu aug-

monter le poids de l'or du nombre de grammes dont le rap-

port a 19,26 est égal au rapport de ^ . "■ a — -,- ' ^^' ce qui

revient au même, égal au rapport de 966,9 à 879. Le poids de

lor demande est donc 57,78 + ^ ^- 2 grammes ou

57 ,78 + 21 , 186 grammes, ou enfin 78«'",966. C'est le résultat que nous avons déjà obtenu au n° 380.

384. La méthode que nous venons d'exposer est connue sous le nom de méthode de fausse position; on voit qu'elle ne conduit en général à un résultat rigoureusement exact que si les variations du nombre inconnu sont proportionnelles aux variations de la différence des nombres dont l'égalité est la condition du problème. II ne faut pas croire cependant que la méthode de fausse position soit nécessairement restreinte

au seul cas dont nous venons de parler; elle peut être appliquée avec avantage comme mélliode d'approximation dans un Irès-grand nombre de questions. Lorsque, en effet, les deux hypothèses successives que l'on aura faites sur la valeur du nombre demandé ne s'écarteront pas beaucoup de la valeur réelle, la méthode de fausse position donnera en général une valeur plus approchée, et en poursuivant, s'il est nécessaire, l'application de la même méthode, on pourra calculer le nombre inconnu avec une approximation aussi grande qu'on le voudra; mais ce n'est pas ici le lieu d'entrer à ce sujet dans des détails qui sont essentiellement du ressort de l'Algèbre.

CALCUL DES RADICAUX. 2 '5

CALCUL DES RADICAUX