CALCUL DES RADICAUX DE MÊME INDICE
387. On emploie le mot radical, non-seulement pour désigner le signe v' , qui sert à représenter une racine, mais encore pour désigner c.'''te racine elle-même.
388. I. Le produit de plusieurs radicniuc du m'"" degré est égal à la racine w"""' du produit des nombres placés sous ces radicaux.
Il faut prouver qu'on a
Pour cela, il suffit de se rappeler que les règles du calrul des nombrecomniensurablcs sont immédiatement ;ipplicables aux nombres incommensurables (228); par conséquent, pour élever un produit à une puissance, il faut élever chaque facteur à cette puissance. Le premier membre de l'égalité précédente élevé à la m'"'" puissance est donc égal à abc, et représente par suite'yc/^c.
La môme égalité démontre, inversement, que In racine m""" d'un produit est égale au produit des racines m""'" de ses jacteurs.
D'après ce qui précède, b étant égal à '^i", on peut écrire
b S/a = \/b'" \ja = \jaljf .
Opérer ainsi, c'est /«/>e entrer le facteur b suus le radical. De même, si l'on remplace "{Uib"' par b"lja, on fait sortir le facteur b du radical.
On voit que, pour faire entrer un facteur sous un radical ou pour l'en faire sortir, il faut l'élever à une puissance marquée par l'indice du radical ou en extraire une racine marquée par le même indice.
389. II. Le quotient de deux radicaux du m"""" degré est égal à la racine m""" du quotient des nombres placés sous ces radicaux.
En effet, de a = j >cb on peut déduire (388)
„,— m /a mif .
d'où, en divisant par "l[b ^
""fb V ^
La même égalité démontre, inversement, que la racine m'""" cV une fraction est égale au quotient des racines m""'" de ses deux termes.
300. III. Pour éh ver un radical à une puissance, il suffit d'élever à cette puissance le nombre placé sous le radical.
Soit à élever "\/a à la puissance p. Il faut prendre ce radical p fois comme facteur. En appliquant le théorème du ii° 388, on a donc
391. IV. Pour extraire la racine n'^'"" d'un radie ul, il suffit de multiplier par n l'indice du radical.
Il faut prouver qu'on a
"i 77j/~ mni~
V y'rt = y'a.
Pour cela, il suffit de se rappeler que, pour élever un nombre à la pui.s-
CALCUL DES RADICAUX. uJ7
sance «?/?, on peul commencer par l'élever à la puissance w, puis le résultat obtenu à la puissance /?, ou inversement (74).
Or, si l'on élève le premier membre de l'égalité précédente à la puissance n, on obtient (/c?, et, si l'on élève ce résultat à la puissance /», on obtient a. Ce premier membre représente donc bien '"^rt.
11 suit de ce théorème que, pour extraire cVun nombre une racine dont Vinclice est le produit de jjlusicurs fdcteurs, on peut extraire de ce nombre une racine marquée par le premier facteur, puis du résultat obtenu une racine marquée par le second facteur, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé les facteurs de F indice pri natif.
On aura, par exemple,
