INSERTION DE MOYENS PAR DIFFÉRENCE ENTRE DEUX NOMBRES DONNÉS

398. Insérer n moyens par différence entre deux nombres donnés a et /, c'est former une progression par différence dont les termes extrêmes soient <? et / et qui soit composée de « -i- 2 termes : les n termes intermédiaires sont les moyens demandés.

Soit r la raison de la progression inconnue. Comme il doit y avoir // -f- I termes avant le dernier /, on aura (396), en supposant /> a,

d"où

et par suite

La raison de la progression cherchée est donc égale à la différence des nombres donnés divisée par le nombre des moyens à insérer plus 1 .

Si l'on demande, par exemple, d'insérer 11 moyens par différence entre i3 et i33, on a

et la progression qu'on veut former est

i3, 23, 33, 43, 53, 03, 73, 83, 93, io3, ii3, laS, i33.

399. Si Von in, ère un même nombre de moyens entre chaque terme dUine progression par différence et le suivant, la nouvelle suite obtenue est une progression par différence.

Soit la progression croissante

dont la raison est r, et supposons qu'on insère n moyens par aifférenre entre chaque terme et le suivant. On formera des progressions partielles dont les raisons (398)

n -\- i «-t-i «H-i rt-t-l

sont toutes égales à

D'ailleurs, le dernier terme de chaque progression partielle est le premier de la progression suivante. Toutes ces progressions partielles forment donc une même progression par différence, dont la raison est égale à celle de la progression primitive divisée par le nombre des moyens insérés plus i.

400. Pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par différence égal à pp' — i , o/? peut insérer d'abord p — i moyens entre les deux nombres donnés, puis p' — i moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant.

Supposons, en effet, qu'on insère p — i moyens entre les nombres a et / > a. La raison de la progression obtenue sera (398)

Si l'on insère maintenant p — i moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant, on obtiendra une nouvelle progression par différence (399) ayant pour raison

— ,- ou 7-'