SOMME DES TERMES D'UNE PROGRESSION PAR DIFFÉRENCE

402. Soil une progression par différence formée des n ternaes a, b, c, fl,..., g, h, /•, /.

Si S est ia somme de tous ces termes, on a

S -- <7 -t- ^ -t- c -f- r/ -t- . . . H- g- -I- /t -I- /■ — /, ou, en renversant l'ordre des termes,

S = / -^ /•-!-/! -h ;;;-+-... -r- r/ ^- c- -f- /^ -H flf.

Si l'on ajoute les deux égalités posées membre à membre, on peut écrire

Chacune des n parenthèses du second membre renferme la somme des extrêmes ou la somme de deux termes également éloignés des extrêmes, laquelle est égale à la première (397). On a donc

aS = [a -^ l)n ou

Ainsi la somme des termes d'une progression par différence est égale à la demi-somme des extrêmes multipliée par le nombre des termes.

Cherchons, par exemple, la somme des n premiers nombres entiers, c'est-à-dire la somme des termes de la progression par difTérence

on a immédiatement pour résultat

Cherchons encore la somme des n premiers nombres impairs, c'est-à-dire la somme des termes de la progression par différence

On a pour résultat