DONNÉS

■406. Insérera moyens par quotient entre deux nombres donnés a et /, c'est former une progression par quotient dont les termes extrêmes soient «et /et qui soit composée de « -h 2 termes ; les n termes intermédiaires sont les moyens demandés.

Soit <7 la raison de la progression inconnue. Comme il doit y avoir n -+- I termes avant le dernier /, on aura (404)

d'où

^aq

et par suite

\Ja

La raison de la progression chercliée est donc égale a une racine du quotient des deux nombres donnés, marquée pur le nombre des moyens à insérer plus i .

Si l'on demande, par exemple, d'insérer deux moyens par quotient entre 5 et G25, on a

et la progression qu'on veut former est

5, 25, l'iô, 625.

407. Si l'on insère un même nombre de moyens entre chaque terme d'une progression par quotient et le suivant, la nouvelle suite obtenue est une progression par quotient.

Soit la progression

dont la raison est 7, et supposons qu'on insère // moyens par quotient entre chaque terme et le suivant. On formera des progressions parlielles dont les raisons (406)

n+\/b n+i/c n+l/d ii+l / 1

sont toutes égales à

D'ailleurs le dernier terme de chaque progression partielle est le premier delà progression suivante. Toutes ces progressions partielles forment donc une même progression par quotient, dont la raison est égale à une racine de la progression primitive, marquée par le nombre des moyens insérés plus i.

408. Pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par quotient éi^al à pp' — i, on peut insérer d'abord p — i moyens entre les deux nombres donnés^ puis p' — i moyens entre chaque terme de Ui progression obtenue et le suivant.

Supposons, en etîet, qu'on insère p — i moyens entre les nombres a et /. La raison de la progression obtenue sera (406)

\la-

Si l'on insère maintenant //— i moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant, on obtiendra une nouvelle progression par quotient (407), ayant pour raison

\J\jl -('^'1 '<jl

Or celte raison est précisément celle qu'on aurait trouvée en insérant directement p// — 1 moyens entre a et /.

On voit en môme temps que le résultat ne change pas lorsqu'on intervertit l'ordre des insertions, c'est-à-dire lorsqu'on insère d'abord p'—i moyens entre les deux nombres a et /, et ensuite p — i moyens entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant.

409. Oa généralise facilement le théorème précédent, en remplaçant pp' — 1 par pp' p" . . . — I .

En particulier, pour insérer entre deux nombres donnés un nombre de moyens par quotient égal à 2" — i, on peut insérer un moyen entre les nombres donnés, puis un moyen entre chaque terme de la progression obtenue et le suivant, et ainsi de suite jusqu'à ce que la même opération (qui n'exigera qu'une extraction de racine carrée) ait été répétée n fois.

ar.G APPENDICE.

PRODUIT DES TERMES D'UNE PROGRESSION PAR QUOTIENT. •ilO. Soit une progression par quotient formée des n termes

fi. h, r, <-/,..., g, //, /•, /.

Si P e?t le produit de tous ces termes, on a

ou, en renversant l'ordre des facteurs,

Si l'on multiplie les deux égalités posées membre à membre, on peut

écrire

P-'= {a. l)[b.k)[cJi)....[h.c) (/-. h) [La).

Chacune des n parenthèses du second membre renferme le produit des extrêmes ou le produit de deux termes également éloignés des extrêmes, lequel est égal au premier (iOo). On a donc

Ainsi le produit des termes d'une progression par quotient est égal h la racine carrée du produit des extrêmes, élevé h une puissance marquée par le nombre des termes.