Soit une progression composée des n termes

Désignons par q la raison de cette progression et par S la somme de tous ses termes. On a

Alultiplions par q les deux membres de cette égalité, en remarquant que le produit de chaque terme par q est égal au terme suivant. Il vient

Retranchons alors la première égalité de la seconde ou la seconde de

la première, suivant que q est plus grand ou plus petit que i.

Nous aurons, dans la première hypothèse, ou quand la progression est

croissante,

Si/ — S ou S(<y — i) ï= Ay — «,

c'est-à-dire

Nous aurons, dans la seconde hypothèse, ou quand la progression est décroissante,

S — S 7 ou S ( I — 7) — « — /r/)

c'est-à-dire

Pour avoir la somme des termes d'une progression par quotient, il faut donc prendre la différence entre le premier terme et le produit du dernier par la raison, et diviser cette différence par celle qui existe entre r unité et la raison.

Dans les formules qu'on vient d'établir, on peut remplacer / par a.q"-^ (404) ; elles deviennent alors

a — aq" l-q '

Clierchons, par exemple, la somme des termes de la progression croissante

La première formule donne

Cherchons encore la somme des termes de la progression décroissante