III I

La seconde formule donne

I \ 9." — 1 oni'

LIMITE DE LA SOMME DES TERMES D'UNE PROGRESSION PAR QUOTIENT INDÉFINIMENT DÉCROISSANTE.

412. On a souvent besoin de considérer des progressions dont le nombre des termes est illimité. Soient a le premier terme et 7 la raisoi' d'une progression par quotient

a, aq, aq' . aq^ . . . .,

dont le nombre des termes est illimité. Nous nous proposons de déterminer comment varie la somme des n premiers termes de cette progression

2(i8 APPENDICE.

lorsque le nombre // augmente indéfiniment. Nous démontrerons d'ubord la proposition suivante.

il 3. Les puissances successives d'un nombre plus grand que i finisse ni par surpasser (oui nombre donne, et les puissances successives d'ii// nombre plus petit que i Jïnissent par devenir moindres que tout nombre dnnné.

Soit un nombre q plus grand que i ; nous pourrons poser

En multipliant de part et d'autre par (j"\ il vient

Or, q étant plus grand que i, il en est de même de q'" ; par conséquent «7'" est plus grand que y..

La dernière égalité donne alors

<i"'*' > </'" ''- ='• 11 suit de là que chaque puissance de q surpasse la puissance précédente d'un nombre plus grand que x. En partant de «7 = i -t- a, on peut donc écrire

(y " > I -+- 2 :< , ry ' > I -1- 3 a , . . . , ^y" > I -f- // y..

Mais on peut prendre l'entier n assez grand pour que i -i-/?a surpasse un nombre donné k quelconque. Il suffit pour cela que n soit plus grand

que le nombre • On aura alors, à plus forte raison,

Soit, maintenant, un nombre 7 plus petit que i. Il faut prouver qu'on peut donner à n une valeur entière assez grande pour qu'on ait 7"< /-, le nombre donné k étant aussi petit qu'on voudra. Or, 7 étant plus petit que

I, - est plus grand que i. On peut donc, d'après la première partie de

la démonstration, trouver un entier n assez grand pour qu'on ait

- > y ou — > 7 >

7 J K 7 fi

c'est-à-dire

On exprime la proposition que nous venons d'établir en disant que Us puissances successives d'an nombre plus grand que i croissent au delà de toute limite, et que les puissances successives d'un nombre plus petit que I ont zéro pour limite.

41 4. Reprenons la progression illimitée

a, aq, aq\ aq\..., et désignons par S„ la somme de ses n premiers termes.

THÉORIE DES PROGRESSIONS. a'09

Si q est plus griind que i, les termes Ac la progression croissent au delà de toute limite (413); par conséquents,, croîlaussi au delà de toute limite, lorsque n augmente indéfiniment.

Si q est plus petit que i , on a ( iM )

nq n

On a donc S , < • En outre, la différence entre S„ et a pour

valeur

Le facteur </" s'approche indéfiniment de zéro à mesure que n augmente

(413) ; il en est donc de même du produit q". Par suite, S„ a pour

limite • On en conclut que :

La somme des n premiers termes d'une jyrngrcssim par quotient, décroissante^ a pour limite, lorsque l'entier n croit indéjïniment, le premier terme divisé par l'unité moins la raison.

Cherchons, par exemple, la limite delà somme des termes de la progression

'1 !^ KJ

Celte limite est égale à

ou a 2.

Soit encore la fraction décimale périodique simple

Sa limite n'est autre chose que la limite de la somme des termes de la progression par quotient décroissante

1000 1000 lOOO"

prolongée indéfiniment. Cette limite est donc égale à

1000 1000 c"cst le résultat obtenu au n° 210.

■iyo APPENDICIi.

415. En comparant les formules qui conviennent au cas des progressions par différence et à celui des progressions par quotient, on remarque que chaque opération indiquée dans une formule relative aux progressions par différence se trouve remplacée, dans la formule correspondante relative aux progressions par quotient, par l'opération de même espèce, mais d'ordre supérieur. Ainsi, à l'addition, à la soustraction, à la multiplication et à la division, se trouvent substituées la multiplication, la division, rélévalion aux puissances et l'extraction des racines. C'est ce rapprochement qui a conduit à l'idée des logarithmes.