Soient deux progressions croissantes et indéfinies

I , ri, c/-, c/ , fj\. . . ; G, /•, ir, 3r, 4 '• ■ • • ,

l'une par quotient commençant par i, l'autre par différence commençant par o.

On nomme Ingarithmes des nombres qui font partie de la progression par quotient les nombres qui leur correspondent respectivement dans la progression par différence.

Les deux progressions dont il s'agit constituent un système de Ingarithmes; elles ne sont assujetties qu'à la seule condition de commencer, la première par i, la seconde par o.

417. Si l'on insère un même nombre quelconque de moyens par quotient entre chaque terme de la progression par quotient et le suivant, et si, en même temps, on insère le même nombre de moyens par différence entre chaque terme de la progression par différence et le suivant, on obtient deux nouvelles progressions (399, 407). Cela posé, on nomme lognritluius des nombres introduits ainsi dans la progression par quotient les nombres correspondants introduits dans la progression par différence.

Il est indispensable d'ét;iblir, pour légitimer l'extension précédente, que si l'on peut introduire un nombre dans la progression par quotient

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES LOGARITHiMES. 271

en insérant entre chaque terme et le suivant un certain nombre de moyens, et si l'on peut aussi l'introduire en insérant un autre nombre de moyens, on trouve pour ce nombre, dans les deux cas, le même logarithme.

Supposons, en effet, que, le nombre N ayant été introduit dans la progression par quotient par l'insertion àe p — i moyens, on ait trouvé « pour son logarithme; et que, ce même nombre ayant été introduit par l'insertion de />' — i moyens, on ait trouvé n' pour son logarithme. Il faut prouver que n = n' .

Or, si, après avoir inséré p — i moyens entre chaque terme de chaque progression et le suivant, on insère p' — i moyens entre les divers termes des nouvelles progrrssions obtenues, on sera dans le même cas que si l'on avait inséré tout d'abord pp' — i moyens entre les divers termes des progressions primitives (400, 408). Donc, par l'insertion de pp' — i moyens, on trouve n pour logarithme de N. De même, si, api es avoir inséré/.»'— 1 moyens entre chaque terme de chaque progression et le suivant, on insère p — I moyens entre les divers termes des nouvelles progressions obtenues, on sera encore dans le même cas que si l'on avait inséré tout d'abord pp'— 1 moyens entre les divers termes des progressions primitives. Donc, par l'insertion de pp' — i moyens, on trouve «' pour logarithme de N. On en conclut évidemment n = n'.

418. Il reste à définir le logarithme d'un nombre N, qui ne peut être introduit dans la progression par quotient.

Pour cela, nous démontrerons d'abord qu'on peut insérer dans les deux progressions un nombre de moyens assez grand pour qu'il soit permis de regarder les termes de ces progressions comme croissant par degrés aussi rapprochés qu'on voudra.

La démonstration est immédiate pour la progression par didérence. En effet, si l'on insère p — i moyens entre ses termes consécutifs, la raison

/de la nouvelle progression est /•' = -, et l'on peut prendre p assez

grand pour que cette raison, qui représente la différence detleux nouveaux termes consécutifs, soit plus petite que toute quantité donnée.

Quant à la progression par quotient, si l'on insère p — i moyens entre ses termes consécutifs, la raison de la nouvelle progression est (]'= sjq. Soient alors «y'" et 7'"+' deux nouveaux termes consécutifs. Leur différence

r/"'+' — ry'" est égale à

Pour qu'elle soit moindre qu'une quantité donnée a, il suffit qu'on ail

ou, en désignant par A un nombre plus grand que tous les termes con-

sidérés dans la progression par quotient,

Cette condition revient à ou encore à

Or, d'après le théorème du n" 413, on peut toujours donner à p une valeur assez grande pour que ( n- t ) surpasse tout nombre donné

Cela posé, après l'insertion d'un nombre suffisant de moyens, tout nombre N plus grand que i fait partie de la progression par quotient ou est compris entre deux termes consécutifs de cette progression. Ces deux termes, pour p assez grand, diffèrent entre eux aussi peu qu'on veut; et, si l'on f;iit croître p indéfiniment, ils ont le nombre N pour limite commune. Les termes correspondants de la progression par différence tendent en même temps vers une limite commune qui est, par définition, le logarithme de N.

419. Des développements qui précèdent il résulte que tout nombre plus grand que i a un logarithme, et qu'un nombre plus petit que i n'en a pas. En outre, le logarithme de i est toujours o.

On voit, en même temps, que, si un nombre vient à augmenter, son logarithme augmente aussi; et, comme les progressions qui définissent le système de logarithmes croissent indéfiniment, lorsqu'un nombre augmente au delà de toute limite, il en est de même de son logarithme.

On indique le logarithme d'un nombre en plaçant les initiales log à gauche de ce nombre. Ainsi logN représente le logarithm.e de N.