PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES LOGARITHMES

420. I. Le Inoraritlune cVun produit de plusieurs facteurs plus grands que I est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

Soient

o, (i, 2(3, 3S,.... w(3,..., «js,..., (w-T-rt)?,--.

les deux progressions qui, après l'insertion d'un nombre suffisant de moyens, définissent un système de logarithmes. On remarque que l'exposant de a dans un terme quelconque de la progression par quotient est toujours égal au coefficient de ^ dans le terme correspondant de la progression par différence.

THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES LOGARITHMES. ajS

Désignons alors par A, B, G trois nombres quelconques faisant partie de la progression par quotient, et supposons qu'on ait

Il en résultera

par suite,

ABC = x"'^"^" ;

log A = /»!?, logB = //p, logC-/;p, logABC = {m -r- n -i- /j)P,

lo;?ACC = lo2;A ^- io-B -+- lo-C.

Si les nombres donnés ne font pas partie de la progression par quotient, on pourra les remplacer par l'un ou l'autre des termes consécutifs qui les comprennent (418), et leurs logarithmes seront eux-mêmes exprimés par l'un ou l'autre de? termes correspor.dants de la progression par différence; la formule qu'on vient d'établir restera dune applicable.

421. II. Le Ingaritlmic diKjitntint de ilcux nomlres plus grands que i est égal (tu Irtgari'.hme du dividende moins le logariilune ilu diviseur, quand ce quntient est. lui-même plus grand que i .

Soient A et B deux nombres plus grands que i ; supposons aussi A > B. On a identiquement

A = ÛxB.

d'où (420)

logA = logg ^logB

et pur suilo

logg = logA -logB

422. Ilî. Le logaritJune d'une puissance d'un nombre plus grand ciue i est égal au logarithme de ce nombre, multiplié par r exposant de la puissance.

Soit, p ir exemple, A*". Cette puissance étant le produit de p facteurs égaux à A, son logarithme sera la somme de p nombres égaux à logA (420) ; on aura donc

IcgA'' = />'logA.

423. IV. Le logarithme d'une racine d'un noniLre plus grand que i c-t égal au logarithme de ce nombre, divise pat l'indice de la racine.

Soit, par exemple, '^A. On a identiquement ((/Âl^^A,

S. et de C. - Arithm. '^

d'où, en prenant les logarithmes des deux membres (422),

;jIogv/A= logA et par suite