USAGE DES TABLES

429. Première QOESTîON. — Un noiuhrc cjudcomjuc étant donne, trouver son Ingnritlime.

Premier cds. — Si le nombre proposé fait partie des Tables, la recherche de son logarithme ne peut présenter aucune difficulté d'après les explications qui précèdent.

Soit, par exemple, le nombre G-By. En face de ce nombre, dans la colonne marquée o, on ne trouve que 5g55; mais, en suivant la marge, le premier nombre qu'on rencontre en montant est 828. La partie décimale du logarithme est donc S-iSSgSS et, comme sa caractéristique est 3, on a

logGySç) = 3.828jg:)5.

Soit encore le nombre SioS-. On cherche 5io8 d,ms la colonne marquée Num. On ne voit aucun nombre isolé en face de ce nombre, à l.i marge de la colonne o; mais, i:n peu plus haut, on rencontre 708 dans cette marge. Ou parcourt ensuite la ligne qui correspond au nombre 5ioS jusqu'à la colonne marquée 7, et l'on y trouve 3 104. La partie décimale du logarithme demandé est donc 7083104 et, comme sa caraclérislique est 4) on a

Iog5io87 = 4, 7083104.

Dciixicnic cas. — Si le nombre proposé ne fait pas partie des Tables, on opère de la manière suivante. On déplace la virgule dans ce nombre, de manière que sa partie entière soit la plus grande possible, tout en restant inférieure à 108000. Le logarithme du nombre ainsi formé a la même partie décimale que le logarithme du nombre donné, et l'on est ramené à chercher le logarithme d'un nombre décimal dont la partie entière est moindre que 108000.

Pour cela, on fait d'abord abstraction de la partie décimale de ce nombre, que nous dé.-ignerons par d, et l'on cherche, comme dans le premier cas, le logarithme de sa partie entière E, ou plutôt la partie décimale de ce logarithme. On prend la difiérence tabulaire A qui existe entre ce logarithme et le suivant. Enfin on ajoute à ce même logarithme autant

d'unités du septième ordre qu'il y a d'unités dans l'entier le plus rapproché du produit r/A. Le résultai ainsi obtenu, après qu'on y a joint la caractéristique convenable, est le logarithme du nombre proposé.

La solution que nous venons d'indiquer repose sur le principe suivant :

Si l'on donne successivement à un nombre N deux petits accroissements, le rapport de ces accroissements est égal au rapport des accroissements correspondants du logarithme de N.

Ce principe n'est pas rigoureusement exact; mais on peut le vérifier à la simple inspection des Tables, dans les limites de l'approximation adoptée, en remarquant la constance prolongée de la différence tabulaire pendant qu'on passe d'un nombre de la Table aux suivants. On démontre d'ailleurs, à l'aide de considérations qui ne peuvent trouver place ici, que l'erreur qui résulte de l'application de ce principe ne peut, en général, avoir d'influence sur la septième décimale du logarithme qu'on calcule, pourvu que, comme nous le supposons, les petits accroissements du nombre n'excèdent pas une unité et que ce nombre lui-même ne soit pas inférieur à loooo.

Il est alors facile de justifier la règle énoncée plus haut. Si l'on représente par X l'accroissement que prend le logarithme de E quand E augmente de </, en remarquant que ce logarithme augmente de A unités du septième ordre lorsque E augmente de i, on a, en vertu du principe

admis,

- = - > d ou X =^ d\,

On n'a pas besoin déformer directement le produit f/A, puisqu'on trouve les produits de A par chacun des chiffres de <■/, dans la petite table placée immédiatement au-dessous de cette différence dans la dernière colonne à droite.

Soit, par exemple, le nombre 5108789. Il faut séparer deux chiffres à droite, pour que la partie à gauche soit moindre que 108000. On cherche donc le logarithme de 51087 et l'on trouve, comme ci-dessus, que la partie décimale de ce logarithme est 7083104. La différence tabulaire étant 85, il faut ajouter au logarithme trouvé l'entier le plus proche du produit 0,89 X 85 = 75,65, c'est-à-dire 76.

Pour faire usage de la petite table dos parties, placée au-dessous de 85, on cherche dans cette table le nombre qui est à droite et sur l'alignement du chiffre 8 ; on trouve 68, qui est l'entier le plus rapproché du produit 85 X 0,8. On cherche de même le nombre qui est à droite et sur l'alignement du chiffre 9; on trouve 77, qui est l'entier le plus rapproché du produit 85 X 0,9; par conséquent, 7,7 est le nombre de dixièmes le plus rapproché du produit 85 x 0,09,

La partie décimale du logarithme demandé est ainsi 7083104 -i- 68 -t- 7,7. On dispose le calcul comme il suit:

log 51087 7o83io4

Pour 0,8 68

Pour 0,09 7,7

log 51087 89 ^ 6,7o83i8o

Comme le logarithme cherché ne doit avoir que sept décimales, on fait abstraction du chiffre 7 qui représente des unités du huitième ordre; mais, ce chiffre étant supérieur à 5, on augmente d'une unité la somme des unités du septième ordre.

Si l'on demande le logarithme de 510878,982, on obtient, en opérant comme il vient d'être indiqué, le tableau suivant :

log 51087 7o83io4

Pour 0,8 68

Pour 0,09 7,7

Pour 0,0 o3 0,26

Pour 0,0 002 0,017

log 51087 8,932 = 5,7o83i8o

On voit que la valeur des deux derniers chiffres du nombre donné n'a aucune influence sur les sept premières décimales de son logarithme. En général, lorsqu'il faut séparer plus de trois chiffres sur la droite du nombre donné pour que la partie à gauche ne surpasse pas 108000, on peut compter comme zéro le quatrième chiffre à droite et les suivants.

-430. Seconde question. — Un logarithme étant donné, trouver le nombre auquel il correspond.

Nous supposerons que le logarithme donné n'a que sept décimales. S'il en avait davantage, on les supprimerait toutes au delà de la septième. En outre, comme la caractéristique du logarithme donné ne doit servir qua indiquer l'ordre des plus hautes unités du nombre demandé, on en fait d'abord abstraction.

Premier cas. — Si le logarithme donné est compris dans les tables, la recherche du nombre correspondant ne présente aucune difficulté.

Si Ton demande, par exemple, le nombre qui a pour logarithme 0,4623980, on cherche 462 parmi les nombres isolés de la colonne marquée o; descendant ensuite dans cette colonne, on y trouve 8980 placé en face de 2900 dans la colonne marquée Num. C'est le nombre demandé, abstraction faite de l'ordre de ses plus hautes unités. Comme la caractéristique du logarithme donné est o, le nombre cherché est égal à 2,9.

Si l'on ne rencontre pas le nombre formé par les quatre derniers chiffres du logarithme donné dans la colonne marquée o, on s'arrête au

aSo APPENDICE.

nombre qui en approch-j le plus, jxir dcjaut. On suit la ligne correspondante, en la parcourant de gauche à druite, jusqu'à ce qu'on trouve les quatre dernières figures du logarithme. LechiiTre pUicé au\ extrémités de la colunne à laquelle on parvient ainsi est le cinquième chiffre du nombre cherché; les quatre premiers sont, comme ci-dessus, en face des quatre dernières décimales du logarithme, dans la colonne marquée Num.

Soit, par exemple, le log.iriihme 4,5178159; on cherche 517 parmi les nombres isolés de la colunne marquée o, on parcourt cette même colunne en descendant, et l'on trouve que yaSG est, avant 5i8, le nombre qui approche le plus de SiSg par défaut. On suit la ligne qui commence par ^•^36 et l'on trouve 8159 sur cette ligne, dans la colonne marquée 7. D'ailleurs, la ligne considérée répond à 8294 dans la colonne Num. Les chifTres qui composent le nombre cherché sont donc ceux du nombre 82947 et, comme la caracléristique du logarithme donné est 4, ce numbre est précisément celui qu'on demande.

Deuxième cas. — Si le logarithme proposé ne fait pas partie des Tables, on opère comme il suit.

On cherche, comme précédemment, le logarithme tabulaire qui approche le plus, par défaut, du logarithme donné, et l'on détermine le nombre entier corrtspondant. Ou retranche ensuite les doux logarithmes consi-' dérés, ce qui fournit un reste D, et l'on prend la différence tabulaire A la plus voisine. Cela posé, quand le nombre entier déjà trouvé augmente de 1, son logarithme augmente de A; par conséquent, si l'on désigne par X Taccroissement que prend ce même nombre quand son logarithme augmente de D, on a, en vertu du principe admis (429),

- = - ; d OU X = - '

La fraction - est donc ce qu'il faut ajouter à l'entier déjà obtenu pour

avoir le nombre demandé.

On réduit cette fraction en décimales, mais on ne peut guère compter que sur l'exactitude des deux premiers chiffres. On écrit ces deux chiffres à la droite de l'entier, obtenu d'abord, et l'on a le nombre cherché, abstraction faite de l'ordre de ses plus hautes unités, qu'on détermine à l'aide delà caractéristique du logarithme donné.

Les petites Tables facilitent la réduction en décimales de la fraction -1

comme nous allons l'expliquer.

Soit à trouver le nombre dont le logarithme est 0,4971490- Le logarithme qui apprjche le plus, en moins, de ce logarithme est, abstraction faite de la cara'^téristique, 4971371 ; le nombre correspondant est 3i4i5. La différence des deux logarithmes considérés est 128, et la différence

tabulaire la plus voisine est i38. On a donc ici- — ^^ = 0,93. Parcun-

sôquent, 3i4i593 est le nombre demandé, abstraction fiiile de l'ordre de ses plus hautes unités. Il en résulte que ce nombre est 3,i4i5r)3, puisque la cara'^téristiq e du logarithme donné est o.

Si l'on veut se servir des petites tables des parties pour réduire la fraclion -5- en décimales, on remarque, en consultant la petite table placée au-