APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES LOGARITHMES
431. Les propriétés fondamentales des logarithmes ( i20 et suivants) ramènent la multiplication de plusieurs nombres à l'addition de leurs logarithmes; la division de deux nombres, à la soustraction de leurs logarithmes; l'élévation d'un nombre à la puissance /;/, à la multiplication de son logarithme par /;/ ; el enfin l'extraction de la racine ni'"'" d'un nombre, à la division de son logarithme par ///. En effeH, trouver le logarithme du nombre inconnu, c'est trouver ce nombre lui-même.
En général, lorsqu'un nombre doit être obtenu en combinant d'autres nombres par voie de multiplication, de division, d'élévation à des puissances données el d'extraction de racines, on calcule son lu-arilhme à
a8a APPENDICE.
l'aide d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions; puis on remonte du logarithme au nombre lui-même.
432. D'après la théorie exposée, les nombres plus grands que i ont seuls des logarithmes. En effet, nous avons toujours supposé croissantes les deux progressions qui définissent un système quelconque de logarithmes.
Si la progression par quotient considérée était décroissante, on pourrait encore regarder les deux progressions comme constituant un système de logarithmes. Seulement, dans un pareil sysième, la base serait plus petite que I ; les nombres plus petits que i auraient chacun un logarithme, tandis que les nombres plus grands que i n'en auraient pas.
L'Algèbre, à l'aide de considérations qui lui sont propres, attribue des logarithmes à tous les nombres, quelle que soit la base du sysième adopté. Cette extension apporte de notables simplifications aux calculs logarithmiques, mais les principes sur lesquels elle repose ne sont pas du domaine de l'Arilhmétique, et nous ne devons pas en faire mention.
Il faut donc que les nombres considérés soient plus grands que i, ainsi que le résultat même de l'opération qu'on veut effectuer, pour qu'on puisse appliquer les notions précédentes.
On peut toujours faire en sorte que la première condition soit remplie. En effet, si l'on a à multiplier ou à diviser par un nombre n plus petit que I, on remarijue que la mulliplication ou la division par a équivaut à
la division ou à la multiplication par -, nombre plus grand que i et qui a, par conséquent, un logarithme. On peut ajouter qu'un nombre plus petit que I pouvant être mis sous la forme fractionnaire ^j où rt et ^ représentent des nombres plus grands que i, on évite ainsi toule difficulté.
Quant à la seconde condition imposée, si le nombre à calculer est plus petit que i, on le multiplie par une puissance de lo dont l'exposant n, qu'on laisse indéterminé, est supposé tel, que le produit obtenu devienne plus grand que i. On prend alors le logarithme de ce produit, on revient au logarithme au nombre, et l'on divise le résultat par lo".
433. Exemple I. — On demande de calculer par logarithmes le produit 3,141593 X 0,98690.
Soit P le produit cherché. Le multiplicateur seul est moindre que i, el peut être mis sous la forme — — —' On a donc
Comme P est évidemment plus grand que i , on a, à cause de log 10 - 1 ,
logP = log3, 141593 -I- log9,8696 — i.
THÉOIUE ÉLÉMENTAIRE DES LOGARITHMES. asî
V'oici l'indication du calcul :
log3,i4i593 0,4971499
log9,8696 0,9942996
logP 0,4914495
43i. Exemple IL — On demande de calculer le quotient de o .ZiZZo^^ par 0,98696.
Soit 0 le quotient cherché. Le dividende et le diviseur étant tous deux moindres que i, on les multiplie par 10, et l'on a
Comme Q est plus petit que i, on écrit alors
,, „ 10" X 3, i83oc)8
d'où
logQ X 10" = /^ -T- log3, 183098 — log9,869G.
Voici l'indication du calcul :
n -f- log3, 183098 « -- 0,5028499
log9,8696 0,9942996
logQ X 10" n — i-i- o,5o855o3
435. Exemple III. — On demande de calculer la racine cimjuième de
Soit R cette racine cinquième. On a (389)
R étant moindre que i, il faut écrire
Rx 10"= — ■ 1
d'où
logR X 10" = /? -H log ^2' — log ^3' .
D'ailleurs
log J/ 2' = 4 log 2':--^^ log 2;
as4 APPENDICE. - THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES LOGARITMMRS. de même
logî/?-ilog3'=|log3.
11 en résulte
logR X lo" = Il H- jloga — jlogS.
Voici l'indication du calcul :
n -+- T 10^2 /? -^ o,4ai4 î^o
|log3 0,6679698
logU X 10" n — I -F- 0,7534722
