PRINCIPES SUR LESQUELS REPOSE UN SYSTÈME QUELCONQUE DE NUMÉRATION

Toi:l système de numération est fondé sur rem[)!oi d'unités de divers ordres, dont chacune conlienl la précédente un même nombie que!cor.qt:e de fois.

Le nombre d'unités de chaque ordre nécessaire pour former une unité (le l'ordre suivant est la base du système de numéiation.

Le système dont la base est dix est universellement adopté, et nous en avons constamment fait usage à l'exclusion de tout autre; toutefois la considération des divers systèmes de numération est souvent utile; aussi c.'oyons-nous devoir entrer dans quelques détails à ce sujet.

La base d'un système de numération doit être au moins égale à deux , ciir si l'on prenait un pour base, les unités des divers ordres seraitrU égaies entre elles, et il n'y aurait pas, à proprement parler, de sysicme de numération.

Quelle que soit la base b d\in système de numération^ on peut dcromposer un nombre entier quelconque en diverses parties conijmsées rcsj.ertivcnic//t (Tu ni tés du premier, du deuxième,. . ., ordre, en nondnr iirfrrieur à b.

Ce principe donne le moyen d'écrire tous les nombres avec b caractères ou chiffres, dont l'un est le zéro et dont les autres servent à désigner les b — i premiers nombres. Il suiTit effectivement de mainte nir la convention suivante, que nous avons faite en e.vposant la numération décimale :

Tout chiffre écrit à la gauche d'un autre exprime des unités de l' ordre immédiatement supérieur à celles de cet autre chiffre.

Si la base b d'un système de numération est moindre que dix, on peut employer pour désigner \es b — \ premiers nombres les chiffres

jusqu'au (/;— i)'"'". On peut employer ces mêmes chilTres si la base ^ est supérieure à dix, mais il faut aussi leur en adjoindre d'autres, pour dé-

3o2 NOTE I.

signer les nombres dix, nnzc, etc., jusquà h — x. Nous emploierons, n cet effet, les lettres de l'alphabet greo a, p, 7,. . . .

Ainsi, dans le système dont la base est cIcilk, et qu'on nomme système binaire^ les seuls caractères employés sont

Dans le système octaval (celui dont la base est huit), les caractères

employés sont

Dans le système duodécimal (celui dont la base est douze), les caractères employés sont

y. représente dix, et ^ représente onze.

Dans tout système de numération, la base et ses puissances sont représentées par

10, 100, 1000, lOOOO

Quelle que soit la base du système de numération adopté, les opérations sur les nombres s'exécutent d'après des règles toutes semblables à celles qui sont relatives au cas des nombres écrits dans le système décimal.

RÈGLE POUR ÉCRIRE, DANS UN SYSTÈME QUELCONQUE. UN NOMBRE ÉCRIT DANS LE SYSTÈME DÉCIMAL.

Un nombre entier N étant écrit dans le système décimal, pour l'écrire dans le système dont la base est b :

1° Si N est </;, on repi'ésente N a i<nde du chiffre désis,néa cet effet ;

1° Si N (?.f/> b, on divise N par h, ce qui donne un quotient N, et un reste r^; on dvise }^^par b. ce qui dn/me un /loureau quotient Nj et un nouveau reste r^. On continue ainsi à diviser chaque quotient obtenu par b, •usfpi'à ce qu'enfin on arrive h un quotient moindre que b. Les différents

restes obtenus /•,, r^, et le dernier iptotient sont les nombres d'nnitcs

ilu premier, du deuxième , . . . , ordre du nombre N, dans le système dont la base est b.

En effet, N, et /•, désignant e quotient et le reste de la division de N 'par b. r, sera le chiffre des unités du premier ordre du nombre N écrit dans le système dont la base est h, tandis que N, sera le nombre des unités du deuxième ordre. Si N, est moindre que b, pour écrire le nombre N, il sulTira de placer le chiffre (jui représente N, à gauche de celui qui lepréseiilc /•,. Si, au conlraire, N, est plus grand que b, et que N, et r^