DES CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ

La plupart des propriétés des nombres, <iue nous avons exposées dans le Livre deuxième, sont indépendantes de tout sysième adopté peur écrire les nombres. Il n'y a guère d'exception à faire qu'à l'égard des conditions de divisibilité. ElTectivement, les théorèmes démontrés aux n°' 83 et suivants sont spécialement relatifs au système décimal; mais des raisonnements, identiques à ceux dont nous avons f.iii usage pour établir ces théorèmes, conduisent aux propriétés suivantes, relatives à un sysème de nuniéialion quelconque dont la base est désignée par b :

1° Le reste de la division d'un nombre par un diviseur Ô de b est le même que le r< ste de la division de son premier chiffre à droite par 9.

a" Le reste île la division d'un nombre par une puissance 9'" d'un diviseur de b est le même que le reste de la division par Ô'" du nombre formé par ses m derniers chiffres à droite.

3° Le reste de la division d^un nombre par b — i , mi par un diviseur 0 de b — ï, est le même que le reste de la division, par b — i ou par 0, de la somme de ses chiffres.

En particulier :

Pour qu'un nombre soit divisible par b — i ou par un diviseur 9 de b — i, il faut et il suffit que la somme de ses chUfres soit divisible par b — i ou lar 0.

4° Le reste de la division d'un nombre par b-i-\, ou par un diviseur 0

SUR LES DIFFERENTS SYSTEMES DE XU31ERATI0X. 3oj

de b-hi, est le même que le reste de la division, par b ^-i ou par 0, de l'excès de la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite sur la somme des chiffres de rang pair.

En particulier :

Pour (ju'u/i nombre soit divisible par b +-i ou par un diviseur 9 de 1) -{-i, il faut et il suffit que la somme des chiffres de rang impair soit égide à la somme des chiffres de rang pair, ou bien que la différence de ces deux sommes soit divisible par b-h i ou par 9.