I . 2 . 3 ...(/? — I ) -f- I est divisible par p

En effet, nous avons vu que si n désigne l'un quelconque des nombre!»

et que l'on divise par p les produits

(a) rt, 2(7, 3rt, ..., [p — \)a

on obtient p — i restes différents qui ne sont autres que les nombres (i). Parmi les produits (a) il y en a donc un, et un seul, qui donne le reste i ; nous désignerons par v.a ce produit, de sorte que la différence

sera divisible par/?. S'il arrive que a.= o^ la différence a* — i sera divisible par p ; mais la formule qui fait connaître la somme des termes d'une progression géométrique montre que «' — i est le produit de a—\ par rt+ 1; donc pour que «' — i soit divisible par le nombre premier /?, il faut que a—i ou «r + i soit divisible par ce nombre, ce qui ne peut avoir lieu que si a est égal à i ou à /?— i, puisque a est inférieur à p.

Il résulte de là que les nombres de la suite (i), abstraction faite du premier terme et du dernier, peuvent être associés deux à deux, de manière que le produit de deux associés soit égal à l'unité augmentée d'un multiple de p. Par conséquent, le produit a, 3,. . ., (p — a), est lui-même égal à i augmenté d'un multiple de p, et en multipliant ce produit par /> — I, on voit que

est égal à un multiple de p diminué de i, ce qui démontre le théorème énoncé.

Remarque. — Ce théorème est surtout remarquable en ce qu'il exprime une propriété qui appartient exclusivement aux nombres premiers. Effectivement, si p est un nombre composé, soit ô l'un de ses facteurs premiers; le produit i .2.3. . . (/j — i) sera évidemment divisible par G, donc la somme

obtenue en ajoutant l'unité à ce produit, n'admettra pas le facteur ô, et, en conséquence, elle ne sera pas divisible par/;.