THÉORÈME DE FERMAT GÉNÉRALISÉ

Vil. Le théorème de Fermât est susceptible de la généralisation suivante :

Si a et N sont deux nombres premiers entre eux, et (jue ^ (N ) exprime

SUR LA THEORIE DES NOMBRES ENTIERS. 3i5

combien il y n de nombres premiers à "ii et inférieurs à ce nombre, la différence

fera divisible par N.

Pour établir ce nouveau théorème, nous emploierons un raisonnement semblable à celui dont nous avons fait usage au n° V.

Soient (•) a, 6, 7, «î,..., w,

les «p(N) nombres premiers et inférieurs à N. Si l'on multiplie ces

nombres par l'un quelconque d'entre eux, <?, on obtiendra la nouvelle

suite

(a) (7a,, «6, ay, a§...., a:j;

aucun terme de la suite (a), «a par exemple, ne peut être divisible par N ; car N est premier à « et il est supérieur à a; pour la même raison, la différence (7(6 — a) de deux termes de la suite [i] ne peut être divisible par N, d'oià il résulte que si l'on divise par N les (p(N) nombres de la suite (a), on obtiendra des restes différents. D'ailleurs, les nombres (a) qui servent de dividendes sont premiers à N, donc les restes de leur division par N sont eux-mêmes premiers à N, et, par suite, ils sont respectivement égaux aux nombres (i). Les nombres (a) ne différant des nombres (i) que par des multiples de N, le produit des uns ne diffère du produit des autres que par un multiple de N; donc la différence

zêy § . . . tii.a — aSy (î

ou

est divisible par N. Enfin, comme le nombre N est premier avec les f&<> teurs a, 6, y,...., w, il s'ensuit qu'il divise