THÉORÈME DE WILSON GÉNÉRALISÉ

VIII. Le théorème de Wilson est lui-même susceptible d'être généralisé; on peut effectivement l'énoncer comme il suit :

Le produit de tous les nombres premiers à an nombre donné N et non supérieurs à ce nombre est égal à un multiple de N diminué de i ou augmenté de i.

En effet, soient, comme précédemment,

les nombres premiers à N et inférieurs à N. Si « désigne l'un quelconque (le ces nombres, les produits

(a) «a, ap, «y,..., «co,

donneront, comme on l'a vu, des restes différents, relativement au diviseui N. Parmi ces restes, il y en aura donc un égal à i, et un autre égal

3,6 NOTE lîï.

à N — I. S ipposons que le produit a-x donne le reste i ; si ^ et a sont inégaux, ces nombres sont associés du premier ^c/ire. Si a = «, le produit axa donnant le reste r, il est évident que le produit n(N — a) donnera le reste N — i, car la somme des deux produits a. a et « (N — a) est un multiple de N ; alors, a et N — a sont associés du second genre.

Il est évident que le produit de tous ceux des nombres (i) qui composent les couples d'associés du premier genre est égal à un multiple de N augmenté de i. Multiplions ce produit par le produit de deux associés du deuxième genre; comme celui-ci est égal à un multiple de N diminué de i, le résultat obtenu sera également un multiple de N diminué de I ; multiplions ce résultat par le produit de deux nouveaux associés du deuxième genre, nous obtiendrons évidemment pour résultat un multiple de N augmenté de i, et ainsi de suite.

Il résulte de là que le produit aoy...», est un multiple de N diminué de I ou augmenté de i ; le premier cas a lieu quand le nombre des couples d'associés du deuxième genre est impair et le deuxième cas quand le même nombre est pair.

Jieman/i/e. —"Sous ajouterons, sans le démontrer, que le nombre des couples d'associés du deuxième genre est impair lorsque N est égal à une puissance d'un nombre premier impair ou égal au double d'une telle puissance, et lorsque N est égal à 4- Le même nombre est pair dans tous les autres cas.

SUR LES RESTES OBTENUS EN DIVISANT PAR UN MÊME DIVISEUR LES TERMES D'UNE PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE.