IX. Considérons la progression géométrique illimitée

(i) 1, a, a\ rt^..., ff,...

formée par l'unité et les puissances successives du nombre a.

Soit N un nombre quelconque premier à a; nous savons, par le théorème de Fermât généralisé, que si l'on divise par N les divers termes de la progression (i), on trouvera toujours un terme, dans cette suite, outre le premier, qui fournira un reste égal à i.Le terme dont nous parlons est la puissance de «, qui a pour exposant Ç'(N); mais avant d'arriver à ce terme, on peut en rencontrer d'autres qui aient la même [iropriété; nous désignerons par n le plus petit nombre tel que le reste de la di\isi0D de «" par N soit égal à i. Puisque l'on a, par hypothèse,

a" = I + un multiple de N,

le produit de q facteurs égaux à c/", c'est-à-dire ^/»+"+''+-+" ou f^'', sera aussi égal à un multiple de N augmenté de i ; par suite, le produit de r<"' par une autre puissance de n, telle que «^, sera égal à un multiple de N augmenté de cf. On aura donc

(a) tf"'*'' — if+ un multiple de X;

en d'autres termes, les puissances à"'"''' et a'' donneront des restes égaux, reiati\ement au diviseur N.

SUR LA THEORIE DJCS NOMBRES EXÏIERS. 3l7

Il résulte de là quo les restes fournis par les termes de la progression (i) se reproduisent périodiquement de n en n, et la période est composée des restes fournis par les n termes

D'ailleurs, les restes fournis par ces n termes sont nécessairement différents; car, soient a' et a''^-' deux termes de la suite (3); la différence «'+' — fl* ou a'{a' — i) de ces termes ne peut être divisible par N, puisque N est premier avec c/' et q .'il ne divise pas a' — i à cause de notre hypothèse, d'après laquelle n est le plus petit, nombre tel que <■/' — i soit divisible par N. La différence de deux termes quelconques de la suite (3) n'étant pas divisible pa/ N, les restes fournis par la division des nombres qu'elle renferme sont tous différents.

Oa voit d'après cela, en se reportant à l'égalité (2), que si r désigne un nombre quelconque inférieur à n, les seuls termes de la suite (1) qui donnent le môme reste que cf sont ceux qui ont la forme a"'''*'''; en particulier, les seuls termes qui donnent le reste i seront

Mais, parle théorème de Fermât généralisé, a^^ ^ donne le reste j; donc 7(N) est un multiple de /z, et l'on a

çp(N) = /?<7,

<7 étant un entier. On peut d'après cela énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Le nombre des termes de la période des restes fournis parla suite, i, a, a^, a*, . . ., relati^'ement au diiiseur N, est ég(d à 'f (N), ou à un diviseur de » ( N j .

Dans le cas oùN se réduit à un nombre premier/?, le théorème précédent peut s'énoncer ainsi :

Le nombre des termes de la périod'! des restes fournis par In suite, i, a, a^, . , ., relativement au diviseur premier p, est égal à p — i ou a un diviseur de p — i .

Soient maintenant « et 6 deux nombres premiers, au diviseur N. et considérons les deux progressions géométriques

(2) b, ba, ba^, ba^,..., b.i",...

Prenons, dans la progression (2), deux termes quelconques ba^ el bd^'\ a différence de ces termes est b(^[(^ — 1), et la différence des termes qui occupent respectivement les mêmes rangs dans la pro.^ression (i) est (tH^a' — \). CommeN est premier avec a et avec b, on voit quel'unede ces différences ne peut être divisible i)ar iN, sans que l'autre le soit aussi. Donc, si deux termes de l'une des suites (i) et (2) donnent des restes égaux, relativement au diviseur N, les termes correspondants de l'autre suite donneront aussi des restes égaux. Supposons que «"soit la plus petite

3i^ NOTE III.

des puissances de n qv:i donnent le reste i ; d'après ce qui précède, b(^ sera, après 6, le premier des termes de la suite (a) qui donnent le même reste que b. Les restes fournis par la suite (2) formeront donc une --uite périodique de n termes, comme ceux .qui résultent de la suite (1).

Soit c un troisième nombre premier à N ; ce que nous venons de dinj de la suite (2) s'appliquera à la nouvelle progression

(3) r, en, ca-, cci',..., r^/", , . . ,

et en conséquence la période des restes de la suite (3) aura le même nombre de termes que la période de la suite (2).

Il peut arriver que l'un des restes fournis par la suite (3) soit égal à l'un de ceux qui résultent de la suite (2). Supposons que les termes ba" et ca' donnent le même reste; on peut admettre que / est supérieur à y, car on ramènerait le cas contraire à celui-là en ajoutant à i un multiple de n. La différence des termes que nous considérons est «^(c — ba'~'') ou a'(b(f~^ — c) et, pour qu'elle soit divisible par N, il faut et il sulut que c ne diffère de ba''' que par un multiple de N, c'est-à-dire que le reste fourni par c soit l'un des restes fournis par la suite (a). S'il en est ainsi et que btfsoii le premier des termes delà suite (2) qui donnent le même reste que c, il est évident que les restes fournis parla suite (3) seront les mêmes que ceux qui sont donnés par la suite

(4) bo'", ba"'-*-\ bn'"'^\....

On voit donc que si l'on range en cercle la période des restes de la suite (2) et celle des restes de la suite (3), les deux cercles seront identiques. Aussi dit-on que les deux périodes se déduisent l'une de l'autre par une substitutinn circulaire.

Si le reste fourni par c n'appartient pas à la suite des restes de la suite (2), les périodes formées par les restes des suites (2) et (3) n'ont aucun terme commun.

Considérons le cas particulier où le diviseur N se réduit à un nombre premier yj, et supposons que le nombre des termes contenu.- dans la périodt'; des suites (1) et (2] soit un nombre pair a/«. Les termes b et ôrt"" donnant des restes égaux, leur diftërence est divisible par le nombre premier p; mais cette différence est le produit des facteurs b, y" — I, c/"'+j ; le premier facteur n'est pas divisible par p, le second ne l'est pas non plus, car s'il l'était, la période n'aurait que m termes, ce qui est contre l'hypothèse, donc r/"-f- i est divisible par /j, et, en conséquence, les sommes

bcr + b, b(f^' + ba, ba'"-^' ^ bn\ . . . , ba^"' -\- ba"-'

sont aussi divisibles par p. Il résulte de là que les restes fournis par les m

premiers termes de la suite (2) sont respectivement les compléments au nombre p des restes fournis par les m termes suivants.

SUK LA THÉORIE DES XOiMBRES EXTIERS. 3iij

DES NOMBRES QUI APPARTIENNENT A UN EXPOSANT DONNÉ RELATIVEMENT A UN DIVISEUR QUELCONQUE.

X. Soil a un nombre quelconque premier à N ; si /? est le plus petit nombre tel que <t—\ soit divisible par N, nous dirons que a appartient à ï exposant n, relativement au diviseur N.

Théorème. — iSi deux nombres a et b premiers à N diffèrent Cun de r autre par un multiple de N, ils appartiennent au même exposant, relativement au diviseur N.

Car si l'on a

a = b-i- un multiple de N,

on aura aussi, quelque soit n,

fi" = b"-\- un multiple de N

Si donc l'un des nombres a", b" est égal à un multiple de N augmenté de I, il en sera de même de l'autre nombre.

Remarque. — Il résulte de là que si l'on veut classer les nombres premiers à N d'après l'exposant auquel ils appartiennent relativement au diviseur N, on pourra se borner à considérer les o (N) nombres premiers et inférieurs à N.

CLASSIFICATION DES NOMBRES ENTIERS D'APRÈS L'EXPOSANT AUQUEL ILS APPARTIENNENT RELATIVEMENT A UN DIVISEUR PREMIER.

XI. Soil p le diviseur premier; d'après ce qui précède, nous devrons nous borner à considérer les /? — i nombres

Demande. — Bans la suite i, i.,. . ., p — \, il ne peut y avoir plus de n nombres dont les puissances n'""" donnent le reste i, relativement an diviseur premier p [*],

(*) Nous demandons qu'on accorde cette proposition sans en exiger la démonstration, qui suppose la connaissance de l'Algcbre. Voici, au surplus, celK démonstration que nous présentons ici pour ne pas laisser subsister une lacuii importante dans notre exposition; le lecteur pourra la supprimer sans incoii vcnient dans une pi'emière étude.

Théorème. — Si X désigne un polynôme tel que

.i" ± P, a-"-' zh P, X" -= rfc . . . rt P„, X zh P„,

de degré n, et dans lequel les coefficients P,,P.,..., soient des entiers., le nombre p étant supposé premier, il ne peut j avoir, dans la suite i, 2, 3,..., p — i, plus de n valeurs de x telles que les -valeurs correspondantes de X soient des nombres divisibles par p.

Cette proposition est évidente dans le cas de « = i; il n'y a eflectivement qu'une seule valeur de x inférieure à p qui rende xrtP, divisible par/;. Donc

3>o XOTE III.

TiiÉORihiE I. — S'il existe u/i nombre a, appartenant à l'crposant n rclntivcincnt au diviseur premier /?, il y a précir.cmcnt n nombres dont les puissances n'""" donnent le reste i relativement au diviseur p, et, parmi ces n nombres, il y en a cp(«) qui appartiennent h l'exposant n.

En effet, puisque a appartient à l'exposant //, les termes de la suite

(i) 1, a, rt',..., a"-\

fournissent des restes différents relativement au diviseur/;; d'ailleurs, si e désigne l'un quelconque des nombres

I, 2, 3,..., (/' — i), légalité

(2) a"~i-\- un multiple de /?

entraînera

(3) (<■/"}* = a"' ~ [a')" — i -\- un multiple de p\

celte égalité (3) exprime que la puissance «'""^ de «'donne le reste i, relativement au diviseur/;, et la môme chose a lieu, en conséquence, à l'é.^ard du reste de la division de a' par /?. Donc les puissances n""'" des restes de la suite (i) donnent toutes un reste égal à i, et, d'après la demande du numéro précédent, il n'existe aucun autre nombre possédant celte propriété.

Désignons maintenant par m l'exposant auquel appartient a', c'est-à-dire le plus petit nombre, tel que

(4) ('^')'" = """ = I + un multiple de/;;

l'égalité (3) exige que le nombre n soit un multiple de m [v." IX ); cl

pour établir le théorème étioncé dans toute sa généralité, il suffit de prouver que s'il a lieu pour les polynômes d'un degré donné quelconque, il subsiste aussi pour les polynômes dont le degré est supérieur d'une unité. En d'autres termes, à l'énoncé de notre théorème il nous est permis d'ajouter l'hypothèse que: le théorème a lieu dans le cas où n est remplacé par n — i.

Cela posé, soit a l'un des nombres i, 2,..., p — i, et supposons que le polynôme X prenne la valeur A pour x =. a. D'après une proposition connue, le polynôme X — A sera divisible algébriquement par jr — a, et si l'on nomme X, le quotient qui est un polynôme de degré n — i, on aura

X = (x-fl)X,H-A.

A étant divisible par p, pour que X le soit aussi, il faut que le produit {x — rt)X, soit un multiple de p, et par ^.uite que x — a om \^ soit un multiple de p. Mais dans la suite i, 2, 3,..., (p— 0 il n'y a que la seule valeurs qui rende x — a divisible par p, et d'après notre hypothèse il n'y en a pas plus de M — I qui rendent X, divisible par p. Donc il y a au plus n valeurs de X qui rendent X divisible par p

Remarque. — Ce théorème comitrend, comme cas paiticulier, la proposition qui constitue notre demande. Celle-ci peut, en effet, être énoncée comme il suit : Le nombre p étant premier, il y a au plus n valeurs de x dans la suite I, 2,..., p — i, telles que X" — I soit divisible par p.

Sriî LA TÎIÈOniE DES NOMBRES EXTIERS. à\il

pareillement l'égalité (4) exige que ntc scit un multiple do n, puisque a appartient à l'exposant n. Si l'on suppose que e soit premier à /?, il faudra que/;/ soit divisible par n; mais, comme n est lui-même divisible par w, on aura m = n, ce qui montre que «'appartient à l'exposant n. Dans le cas où n et e ont un plus grand commun diviseur 0 supérieur à i , la puissance «* ne saurait appartenir à l'exposant n, car, en élevant a' à la puis-

11 ( i\ a^ ou \o^ J , ne

sauce T-» on a pour résultat a ^ ou \a^ J , nombre qui fournit le reste i,

comme on l'a vu plus haut; donc l'exposant auquel rr appartient esl moindre que //.

11 résulte de là que, parmi les n nombres compris dans la suite i, i, 3...., (p—i), et dont les puissances n"""' donnent le reste i, relativement au diviseur/?, il y en a précisément o(n) qui appartiennent à l'exposant n.

Théorème II. — Le nombre p étant premier et n désignant un diviseur quelconque de p — I, ily a nécessairement des nombres qui appartiennent à l'exposant n ; on peut même ajouter, d'après le théorème précédent, qu'il y en a o (n).

L'exposant auquel appartient l'un quelconque des nombres de la suite

relativement au diviseur premier/?, est, comme on l'a vu, égal à l'un des diviseurs

du nombre p — i- Nous emploierons le symbole '^[d] pour CNprimer combien il y a dans la suite (i) de nombres qui appartiennent à l'exposant d, et alors on aura, d'après le théorème I,

■b{d)^<^[d) eu •!j[d) = o.

Pareillement -^{d'), •l[d'],... exprimeront comibien il y a, dans la suite (i) da nombres qui appartiennent aux exposants d\ <-/",. . . respectivement. L'unité fait partie de la suite des diviseurs (a), et comme i est évidemment le seul nombre qui appartienne à l'exposant i, on a •!/ (i) = I. En6n, le nombre des termes de la suite (i) étant/? — i, et chacun des termes que cette suite renferme appartenant à l'un de? exposants contenus dans la suite (2), on a l'identité

mais on a trouvé (n°IV)

(4) -, [d) ^ ç [d') ^ o [d") ^o{d-") + ...=p~i, donc

Ceux des termes du premier membre de cette égalité qui ne sont pas n'jls sont resp3cti^ement égaux, '^'qprès ce qui précède, aux termes qui

S. et de C. — Aric/uu. 21