DES INDICES

XIII. Soit a une racine primitive du nombre premier p, uu uombre quelconque A non divisible par/j est égal à une certaine puissance de a plus ou moins un multiple de p. Si n désigne le plus petit non.bre tel que l'on ait

<7" = A =t un multiple de p,

nous dirons que n est Vindice de A, relativement au diviseur p et h a base a, La considération des indices conduit, comme on va le voir, à des propriétés analogues à celles des logarithmes.

Théorème I. — J.'indicc (Cnn produit de plusieurs jacteurs est égni. au reste de la division par p — i de la suainie des indices des facteurs.

En effet, soient a, o, 7,. . . , les indices des nombres A, B, C. . . . Puisque l'on a

a = A -f- un multiple de/^,

g a = B -H un multiple de /?,

a^ = C -1-- un multiple de />,

>>i XOTF, m.

on aura, pur la miilliplication,

(i ^ "*= ABC. .. + un multiple de/ï.

L'indice du produit ABC... s'obtiendra donc en rctranchnnt de la somme a + ?^-7 + ... le plus grand multiple do /> — i qui s'y trouve contenu.

Ce théorème s'e.x[»rime par l'ôgalilé

ind ABC. . . = ind A -f- ind B-t- indC-f- . • • — un muiîiple de \p — i).

De ce théorème on ccnrlut immédiatement le suivant :

Théorème 11. — Vimlicc cCunc puissance d'un nombre est égal nu produit de findice du nombre par l'exposant de la puissance, à un multiple ])rès de p — I .

On voit, par ce qui précède, que si l'on voulait construire une table qui donnât les indices de tous les nombres pour différents diviseurs, on pourrait se dispenser de tenir compte de fous les nombres supérieurs au diviseur et de tous les nombres composés.