RSCKERCEE DES RACINES PRIMITIVES D'UN NOMBRE PREMIER

XIV. D'a[)rès le corollaire 11 du n** XI , on pourra calculer îoutes les racines primitives du nombre premier /?, si l'on connaît les nombres qui appartienronl, relativement au diviseur />, à des exposants égaux respectivement aux [iuissances des divers nombres premiers qui figurent dans /? — I ; niais la détermination de ces nombres présente elle-mèm.e de grandes difficultés.

La recherche des racines primitives d'un nombre premier p ne peut guère s'effectuer que par tâtonnements. Voici une méthode assez simp'e, due à (i;iuss, qui conduit à l'une de ces racines; les autres se déduiront ensuite de celle-là comme nous l'avons indiqué plus haut (n** XH).

On prendra arbitrairement un nombre a dans la suite 2, 3,.. , (/j — i), '2, par exemple, et on déterminera sa période, c'est-à-dire la période des restes fournis par les puissances

(i) <■/, rr, <•/^

Si cette période & p — ' termes, a sera une racine primitive; mais si la période a moins de p — \ termes, on prendra un autre nombre b qui ne soit pas compris parmi les restes de la suite (i), et l'on cherchera de même la péiiode de b. Si cette période de />» a /? — i termes, b sera racine primitive; mais supposons qu'il n'en soit pas ainsi. Désignons par n l'exposant auquel a appartient, et par /;/ celui auquel appartient />; comme les restes de la suite (i) comprennent tous les nombres qui appartiennent à l'exposant «, et, pour la môme raison, ceux (jui appartiennent à un exposant sous-multiple de //, le nombre m ne sera pas un diviseur de n. Mais il peut être un multi|)le de /?, et, quand ce cas se présente, la connaissance de b aura avancé la solution de la question, car ce nombre appartient à un exposant plus élevé que celui auipicl a se rapporte. Sup-

SLR LA THEORIE DES XOaiBUES EXTIERS. ^ii

posons que m ne soit égal ni à /? — i ni à un mullip'ie de n, désignons par s le plus petit commun multiple de ti et w, et décom|)osons ce nombre i- en deux facteurs premiers entre eux n', ///' qui divisent respectivement les nombres n et m. Voici comment cette décomposition peut être effectuée ; on décomposera les nombres n et m en leurs facteurs premiers; soit c l'un de ces facteurs premiers destiné à entrer dans j

avec l'exposant 7. Si c^ est diviseur de n seul, on fera figurer c^ dans n' •

si c'' est diviseur de m seul, on introduira au contraire c^ dans/»'; enfin,

si c' est diviseur commun de m et de n. on introduira c^ à volonté, soit dans ///', soit dans «'; on agira de même à l'égard des autres facteurs premiers de .v. On aura ainsi s = n'nt\ avec n = n'e, m = ni'f, e et/ étant des entiers. Cela posé, je dis que le nombre a' appartient à l'expO' sant n\ relativement au diviseur p\ en effet, la [uiissance n'"'" de (f e^t rt", et elle donne en conséquence le reste i ; il n'/ a pas d'ailleurs d'exposant V inférieur à «' tel que {«')'' ou «'"'donne le reste i, puisque ve est inférieur à « et que a appartient à l'exposant n. On feniii voir de même que U appartient a 1 exposant in , et il en résulte (n° XI) que le produit if .'v^ ou le reste de la division de ce produit par p appartient à l'expcsaul ni'n' = s.

La métlioùe que nous venons d'exposer conduit, dans tous les cas, à un nombre qui appartient à un exposant plus élevé que celui auquel appartient le nombre a duquel en est parti. En poursuivant la même marche, on arrivera donc certainement à un nombre appartenant à l'exposant p — 1; ce nombre sera une racine primitive de p. Mais, dans la plupart des cas, il se présente des circonstances particulières qui permettent de simplifier l'application de ia métho;!e.

Premier exej:ple. — On dcmnnde une racine primitUe du nombre premier 7 1 .

Prenons le nombre i et cherc'aons sa période. A cet effet, on formera la série des puissances de 2; chacune d'elles s'obtient en multipliant la puissance précédente par 2, mais, avant de faire cette multiplication, il faut avoir soin de retrancher 71 de la puissance qui seit de multiplicande, lorsque celle-ci est supérieure à 71. On trouve que la période de i a 35 termes oui sont

Le nombre 2 n'est donc pas racine primitive de 71, et il appartient à l'exposant 35; mais il est facile de voir que le complément de 2371, c'est-à-dire 69, est racine primitive. En effet, de l'identité

Gq = 7' — *.

iG,