SUR LA THEORIE DES \09IBRES ENTIERS
(le sorte que 3 ajiparlient à rex[)Osant 12. Le plus pelil multiple commun des nombres 9 et 12 étant 36, la méthode du n° XIV nous fera connaître un nombre appartenant à l'exposant 36. Cet exposant 36 est le produit des facteurs 9 et 4 qui sont premiers entre eux et qui divisent respectivement 9 et 12; les quotients de ces divisions sont i et3; par conséquent le nombre 2 x 3' ou 54 appartient à l'exposant 36. Formons la période de 54, on trouve les 36 termes suivants :
qu'on obtient très-facilement en remarquant qu'un terme quelconque se forme en multipliant par 3 celui qui le précède de 3 rangs et en prenant le reste du produit obtenu, relativement à 73 ; ceci résulte de ce que 3 est le cube de 54 diminué d'un multiple de 73. Maintenant le nombre 5 ne fait pas partie du tableau précédent, mais son carré 5^ ou 25 s'y trouve et il y occupe un rang marqué par le nombre 25 qui est premier à 72. 11 résulte de là que 5' appartient à l'exposant 36; l'exposant auquel 5 appartient est donc égal à 36 x 2 ou à 72 ; en d'autres termes, 5 est une racine primitive de 73.
Nous donnons ici une table dans laquelle on trouve la plus petite racine primitive pour chacun des nombres premiers inférieurs à 100.
Nombres premiers.
Racines primitives.
Nombres premiers.
Racines primitives.
REMARQUE SUR L'EXTENSION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE AU CAS DES DIVISEURS COMPOSÉS.
XV. Il n'existe pas en général de racines pi imitives pour un nombre composé N; en d'autres termes, parmi les ? (N) nombres premiers et inférieurs à N, il n'y en a généralement aucun qui appartienne à l'exposant p (N) et dont la période embrasse en conséquence les 'f (N ) nombres premiers et inférieurs à N.
Eu effet, le nombre N étant décomposé en facteurs premiers, soit
^ = a-lJ' c^ ....
«t désignons par e un nombre quelconque premier à N; e sera dès lors
XOTK III.
premier avec chacim des nombres ^/"*, b^ ^ c' , et l'on aura, par le
lliéoréine de Fermai généralisé,
c" ^ = i-\- un multiple ae a , c^ ' = i un multiple de « , . . . .
Soit M le plus petit commun multiple des nombres o l" "), 'f (^"^j,--on aura, à cause des égalités précédentes,
c* = i-V- un multiple de «", f" = i -+- un multiple de b , , . . ;
la différence c** — i étant ainsi divisible par a\ b , c\. . ., elle est divisible par le produit N de ces nombres, et l'on a, en conséquence,
e" = M- un multiple de N.
Or on a
ÇP{N)= J.7*)ç(^^)<.(c'')..., { et c. 1 , ,
ce qui montre que © \a') e»t pa'r, sauf le seul cas de «=2, a. — \. II
suit de là que ie plus petit commun multiple M des nombres 'f («*), » (i ),..., est inférieur au produit «p (N) des mêmes nombres, sauf le cas où N est une puissance d'un nombre premier ou le double d'une telle puissance. En faisant abstraction de ce cas, on voit que le nombre e appartient à un exposant inférieur à <ï'{N), et, en conséquence, N n'a point de racines primitives.
Lorsque le nombre N est de la forme p^ ou ay/, p étant un nombre premier autre que a, il existe pour N des racines primitives, et on peut les obtenir facilement quand on connaît celles du nombre premier /-».
Lorsque le nombre N est une puissance de 2, il n'y a point de racines primitives; mais ce cas offre des particularités remarquables.
Nous nous bornons ici à cette simple indication; des déveloi)penienta plus étendus dépasseraient les limites naturellement imposées à une exposition élémentaire.
