APPLICATION A LA THÉORIE DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES

XVL . Quand on veut étudier les circonstances que présente la réduction d'une fiac lion ordinaire irréductible en fraction décimale, on peut supposer que le dénominateur de cette fraction soit premier avec to; car si It; contraire a lieu, on multipliera les deux termes de la fraction ordinaire par une puissance de a ou de 5 choisie de manière que les facteurs 2 et 5 entrent à la même puissance dans le dénominateur. Faisant ensuite abstraction de la puissance de 10 formée par ces facteurs, on n'aura plus à con-

SUR LA THEORIE DES N03IBRES EXIIERS. 329

sidérer qu'une fraction irréductible ^r^ dont le dénominateur est premier

Cela posé, pour effectuer la réduction de la fraction irréductible ^ en

décimales, il faut exécuter la division de e par N en multipliant chacun des restes obtenus par 10 avant de le prendre pour dividende. Ces restes s'obtiennent donc en divisant par N les termes de !a progression géométrique

e-, ex 10, 6'xio^, exio', ...;

ds formeront une période, et le nombre des termes de cette période sera indépendant de e (n° IX ) ; ce nombre, diviseur de <p (N), sera précisément l'exposant auquel 10 appartient, relativement au diviseur N. Il est évidenlque le nombre des termes contenus dans la période de la suite des restes est égal, dans tous les cas, au nombre des chiffres qui composent la période de la fraction décimale.

En particulier, si N se réduit à un nombre premier /^, et que 10 soit une racine primitive de /j^ la période de la fraction décimale aura p— 1 chiflVes. Cette circonstance se présente si N ou p est égal à Fun dàs nombres premiers

7, 17, '9> 23, 29, 47, 59; Gi, 97,...,

pour chacun desquels 10 est racine primitive.

Nous terminerons cette Note par la démonstration d'une propriété assez curieuse des fractions décimales, propriété qui consiste dans le théorème suivant :

Théorème. — Si le. dénominalcm- cV une fraction ordinaire irrcdiatible est un nombre premier autre que -i et 5, et si cette fraction donne Naissance à une fraction décimale dont la période ait un nombre pair 'j.i// de diiffres, 1° les m premiers chiffres ajoutés respectivement avec les m derniers, donneront des sommes toutes égales à g ; 2° les restes correspondant aux m premiers chiffres afnités respectivement avec ceux qui correspondent aux m derniers donneront des sommes toutes ég(ùis au dénominateur de la fraction ordinaire.

La deuxième partie du théorème est comprise dans ce qui a été étab'i A la fm du n" IX; si, en etfet, R..-+- U^^^ sont les restes qui occupent les ranss / et i H- m dans la suite des restes auxquels conduit l'opéiation, la somme R, H- R,+„ sera divisible par />», et elle sera même égale à p, puisque chacun de ces restes est inférieur à p.

Soient C, et C;^„ les chiffres de la fraction décimale qui correspondent, aur, restes R, et Uj^,„ respectivement; on aura

R^xio-R;^, =-C;X/;,

-i3o NOTE IV.

et en ajoutant

'Ri+ lî.>™) 'o - (R,,, + R,,„,,) = (C, -f C,,Jp;

mais nous venons de voir que la somme Rj+ Ri^,„ est égale à p ; lasommt li ,+, 4- Ri+„+, est aussi égale k jj pour la même raison; donc, en divisant la précédente égalité par/^, on obtient

^ce qui complète la démonsti ation du théorème énoncé.

iVOTE IV

SUR UN MOYEN TRÈS-SIMPLE D'OBTENIR DES VALEURS DE PLUS EN PLUS APPROCHÉES DE LA RACINE CARRÉE D'UN NOMBRE QUELCONQUE.

i. Soient N un nombre quelconque et A un nombre quelconque supé-

N rieur à \/^ ; le quotient -r que nous désignerons par B sera inférieur à y/N

et la valeur de cette racine sera comprise entre A et B. Les deux nombres A et B dont le produit AB est égal à N, seront dits valeurs approchées correspondantes de y/N.

Désignons par A, la moyenne arithmétique des valeurs correspondante et B; soit aussi B, la valeur correspondante à A,, on aura

N En écrivant -r- au lieu de B, la première de ces égalités donne