I ID

iative do A, est inférieure à et celle de A^ à • En lé-

îoooo boo ooo ooo

avec

duiàanl A3 en décimales, on trouve 1,7728101 qui donne \^/-^

7 décimales exactes.

II. Considérons en particulier le cas oîi N est un nombre entier et

p suppi sons qu'on prenne pour valeur initiale la fraction irréductible — ?

supérieure à v^; on aura puis

Soit — la fraction irréductible égale a A,, on aura

DP, = P'-rNQS DQ, = 2PQ,

1) étant le plus grand commun diviseur des nombres P"^ + NQ' et aPQ. De ces deux égalités on déduit les suivantes

d(p, + Q,\/n) = (p + Qv/n)\ d{p.-Q.vAn) = (p-Qv/n^'.

cl on multipliant

D'(PÎ-NOÎ)-- {P-NQ\-.

Si donc en a

p^ NQ^ = I ,

ou aura nécessairement D = i, et

PÎ-NQî = i.

Pareillement si rr-' rf"'""' T)'^""' <^^signent les valeurs successives A„

vj Va v-

Aj,..., A„, .., on aura, quel quo soit/?,

P^^ KQl = I , ou

ou enfin

SUR LA THrORIE DE LA RATIXE CARREE. J3J

;où il résulte que l'on a

et, à plus forte raison,

k~''^'^fjT:

Ainsi chacune des fractions —^ rf"'"*' '^'■'^'"'-'''^ ^^^ ''^ vntie valeur de v^

d'une quantité plus petite que l'unité divisée par le carré de son dénominateur.

La iraction ^ peut toujours être choisie de manière que l'on ail

quand le nombre N n'est pas un carré exact; mais nous ne saurions donner la démonstration de ce fait, sans sortir des limites que nous nous sommes tracées. Bornons-nous donc à un exemple. Dans le cas de N -- 7

P 8 on pourra prendre pour valeur initiale — = r; les fractions suivantes

fT' rf"'"'*' ^^^°"'' données ensuite par les formules

Vi Vi

En développant les calculs il vient

P. -^Q> \/7 = i^7 4-48v/7, d'où P, = 127, Q, = 48,

P, -1-02/7 = 322 5:7+ 1-2 192 v/7, d'où Pj= 32257, Qj=r 121 02,

ainsi, en particulier la fraction représente la valeur de »/-7 i

- — r— ^ près.

3;ji