CHAPITRE III

DÉFINITIONS

29. La multiplication est une opération qui a pour but df former un nombre composé d'autant de parties égales à un nombre donné qu'il y a d'unités dans un deuxième nombre donné.

Le premier des deux nombres donnés se nomme multiplicande, le deuxième se nomme multiplicateur, el le résultai de l'opéralion est appelé j9ror///?7. Le multiplicande et le multiplicateur sont dits \es facteurs du produit.

Ainsi multiplier 5 par 3. r/esi laire la somme de 3 nombres égaux à 5. Cette somme étant égale à i5, on dit que le produit de 5 par 3 est i5. Dans cet exemple, 5 est le multiplicande, 3 est le multiplicateur.

On voit aussi par la définition que, si le multiplicateur est égal à l'unité, le produit est égal au multiplicande; ainsi le produit d'un nombre par i est ce nombre lui-même.

On indique la multiplication au moyen du signe X qui s'énonce multiplié par. Ainsi 5x3 signifie 5 multiplié par 3.

30. La multiplication étant l'addition de plusieurs nombres égaux, on pourrait l'effectuer en suivant la règle donnée pour l'addition en général (16). Ce procédé, qui serait impraticable dans le cas de nombres un peu considérables, est effectivement celui que l'on emploie pour faire le produit de deux nombres d'un seul chiffre, et l'on ramène, comme on le verra plus loin, tous les autres cas à celui-là. On comprend dès lors combien il est essentiel, pour opérer promptement, desavoir

par cœur tous les produits que l'on peut former avec deux nombres d'un seul chiffre. Ces produits se trouvent renfermés dans la Table suivante, dont nous allons indiquer la construction et l'usage :

iO

IS

La première ligne horizontale renferme les neuf premiers nombres, ou, ce qui revient au même, les produits des neuf premiers nombres par i.

Pour former la deuxième ligne on ajoute chacun des nombres de la première avec lui-même; celte deuxième ligne renferme donc les produits des neuf premiers nombres par i.

Pour former la troisième ligne on ajoute chacun des nombres de la deuxième ligne avec le nombre correspondant de la première, c'est-à-dire avec celui qui se trouve dans la même colonne verticale; la troisième ligne renferme ainsi les produits des neuf premiers nombres par 3.

De même, chacune des lignes suivantes, jusqu'à la neuvième, se forme en ajoutant chacun des nombres de la ligne précédente avec le nombre correspondant de la première ligne; d'où il suit que les neuf lignes horizontales contiennent respectivemcniles produits des neuf premiers nombres par 1,2, 3, ...,9, tandis que les neuf lignes verticales contiennent respectivement les produits des nombres qui les commencent par les neuf premiers nombres.

Voici maintenant comment on fait usage de celle Table. Supposons, par exemple, qu'on demande le produit de 7 par 6.

ao LIVRE I. - CHAPITUE III.

D'après la manière dont la Table est construite, ce produit doit être dans la septième colonne verticale qui renferme tous les produits de 7 par les neuf premiers nombres; mais il doit être aussi dans la sixième ligne horizontale qui renferme les produits des neuf premiers nombres par G : on trouve ainsi que le produit demandé est 42.

MULTIPLICATION D'UN NOMBRE DE PLUSIEURS CHIFFRES PAK UN NOMBRE D UN SEUL CHIFFRE.

31. De la définition de la multiplication et du principe sur lequel repose la règle de l'addition (n°15) il résulte que :

Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul c/tiffre, il suffit de multiplier successivement les unités, les dizaines, les centaines,. . . du multiplia cande par le multiplicateur et de réunir ensuite tous ces produits partiels.

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de multiplier 2096 par 7. On dispose l'opération de la manière suivante :

2og6

Le multiplicateur est écrit au-dessous du multiplicande, et l'on lire un trait au-dessous du multiplicateur; ensuite on écrit au-dessous du trait les chiffres du produit à mesure qu'ils sont trouvés.

On multiplie d'abord les unilésdu multiplicande par le multiplicateur, et l'on dit : 7 fois 6 font 42. Comme ces 4^ unités se composent de 4 dizaines et de 2 unités, on écrit seulement le chiffre 2 à la place des unités du produit et l'on retient les 4 dizaines pour les réunir au produit des dizaines du multiplicande par le multiplicateur.

Arrivantaux dizaines, on dit : 7 folsg font63 et4 de retenue font 67. Ces 67 dizaines se composent de 6 centaines et de 7 dizaines; on écrit seulement le chiffre 7 à la place des dizaines, et l'on retient les 6 centaines.

Mais, comme dans l'exemple choisi le multiplicande ne renferme pas de centaines, le produit ne contient que les

6 centaines de retenue : on écrit donc ce chiffre à la place des centaines.

Enfin, arrivant aux mille, on dit : 7 fois 2 font i/\, et l'on écrit ces chiffres à la gauche des chiffres déjà trouvés.

Le produit obtenu est ainsi 14672.

32. On peut, d'après cela, énoncer la règle suivante : Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un

nombre d'un seul cliiffre, on multiplie successivement les différents chiffres du multiplicande par le multiplicateur, en commençant par la droite. On écrit le chiffre des unités du premier produit partiel, et l'on retient les dizaines pour les ajouter avec le produit partiel suivant; on écrit le chiffre des unités de cette somme à la gauchedu premier chiffre déjà écrit, et l'on retient les dizaines pour les réunir avec le troisième produit partiel, et ainsi de suite.

33. Remarque. — On doit encore, comme pour l'addition et la soustraction (17, 24), commencer l'opération par la droite. C'est toujours l'existence des retenues qui impose cette nécessité.

MULTIPLICATION D'UN NOMBRE PAR UN CHIFFRE SIGNIFICATIF SUIVI D'UN OU DE PLUSIEURS ZÉROS.

3i. 1° Pour multiplier un non\bre par 10, 100, 1000,. . ., // sufjit d'écrire i, 2, 3,... zéros à sa droite ; car , d'après le principe de la numération écrite, chacun des chiffres exprime alors des unités 10, 100, 1000,... fois plus grandes qu'auparavant, et, par suite, le nombre a été rendu 10, 100, 1000,. . . fois plus grand; en d'autres termes, il a été multiplié par lo, 100, 1000, ....

2° Pour multiplier un nombre par un chiffre significatif uivi d'un ou de plusieurs zéros, il suffît de multiplier le nombre par ce chiffre et d'écrire à la droite du résultat autant de zéros qu'il y^ en a à la droite du chiffre.

Supposons, par exemple, qu'on veuille multiplier 2096 par 3oo, qui est, comme on vient de le voir (1°), le produit de 3 par 100.

Ecrivons, les uns sous les autres, 3 nombres égaux au multiplicande 2096; puis, au-dessous de ce groupe, écrivons un

a2 LIVRE I. - CHAPITRE III.

deuxième prroiipe semblable, puis un troisième, etc., jusqu'à ce que nous ayons loo groupes :

On voit que 2096 se trouve écrit un nombre de fois égal au produit de 3 par 100; par conséquent, en additionnant tous ces nombres, on aura le produit de 2096 par Soc, Mais il est évident qu'on aura le même résultat en additionnant les 3 nombres de cbaque groupe et en additionnant ensuite les 100 sommes obtenues. Or !a somme des trois nombres de cbaque groupe est égale au produit de 2096 par 3 ei, pour faire la somme de 100 nombres égaux à ce produit, il suffira, après l'avoir effectuée, d'écrire (Jeux zérosà sa droite; donc, pour muliiplier 2096 par 3oo, il suffit de multiplier 2096 par 3 et d'écrire ensuite deux zéros à la droite du produit effectué.