CAS PARTICULIER OÙ LE QUOTIENT N'A QU'UN CHIFFRE

oG. On reconnaît, d'après ce qui précède (55), que le quo- Ueni d'une division n'a qu'un chiffre lorsque, en écrivant un zéro à la droite du diviseur, on fornne un nombre plus grand que le dividende.

Supposons d'abord que le diviseur n'ait aussi qu'un seul chiffre; il est évident que le dividende ne peut alors en avoir plus de deux. Dans ce cas, on obtient le quotient à l'aide de la Table de multiplication. Soit, par exemple, à diviser Sg par 8. Le plus grand des nombres de la huitième colonne verticale de la Table de multiplication contenus dans Sg étant 5G, qui est le produit de 8 par 7, on en conclut que le quotient de la division de 59 par 8 est 7. Quant au reste de celle division, il est égal à l'excès de 69 sur 56, c'est-à-dire égal à 3. Sachant par cœur la Table de multiplication, on fait immédiatement les divisions de celle espèce.

57. Supposons maintenant que le diviseur ait plusieurs chiffres. Dans ce cas, on détermine le chiffre du quotient par tâtonnements, comme nous allons l'expliquer.

Soit, par exemple, à diviser 5905 par SSq. Le diviseur étant plus grand que 8 centaines, le quotient est égal ou inférieur au plus grand nombre de fois que le dividende 5905 contient 8 centaines; car, en diminuant le diviseur, on ne peui qu'augmenter le quotient, si on le modifie. Pour connaître ce plus grand nombre de fois, il suffit de retrancher autant de fois que possible 8 centaines de 5905, ou, ce qui revient au même, 8 centaines de 59 centaines, ou enfin 8 de 69. Le quotient cherché est donc égal ou inférieur au quotient de 59 par 8, c'est-à-dire égal ou inférieur à 7.

On commence par essayer le chiffre 7. A cet effet, on multiplie le diviseur par 7, et, comme le produit correspondant 6oi3 est plus grand que le dividende, on voit que 7 est un chiffre trop fort. On essaye de même le chiffre 6; le produit du diviseur par 6 est 5i54, nombre inférieur au dividende; donc le quotient cherché est 6. Le reste de la division s'obtient en retranchant 5i54 de 59o5; ce reste est 75r.

DIVISIOx\. 33

On est ainsi conduit à la règle suivante:

Pour faire la division de deux nombres dans le cas où le quotient ne doit avoir qu'un seul chiffre, on divise par le premier chiffre à gauche du diviseur les unités de même ordre contenues dans le dividende. On obtient ainsi le chiffre du quotient ou un chiffre trop fort. On multiplie le diviseur par le chiffre obtenu, et, si le produit peut être soustrait du dividende, le chiffre est exact; sinon, on essaye de la même manière le cliiffre inférieur d'une unité, et ainsi de suite.

58. On dispose habituellement l'opération de la manière suivante :

5go5 5i54

Le diviseur écrit à la droite du dividende est séparé de celui-ci par un trait vertical; on tire un trait horizontal au-dessous du diviseur, et l'on écrit au-dessous de ce Irait le chiffre exact du quotient quand il a été trouvé; au-dessous du dividende, on écrit le produit du diviseur par le quotient, puis l'excès du dividende sur ce produit, excès qui est le reste de la division.

Souvent on se dispense d'écrire le produit du diviseur par le quotient. Alors, pour avoir le reste, on retranche successivement les produits i)artiels des différents chiffres du diviseur par le quotient des unités de même ordre dans le dividende, à mesure que ces produits sont formés. Pour rendre toutes ces soustractions possibles, on fait usage, quand cela est nécessaire, du principe du n" 22, sur lequel repose la règle de la soustraction. D'après ce principe, on ajoute à chaque chiffre du dividende le nombre de dizaines nécessaire et suffisant pour rendre possible la soustraction correspondante, et l'on a soin d'ajouter un pareil nombre d'unités au produit à retrancher dans la soustraction suivante.

L'opération est alors disposée comme il suit :

--Si

et l'on dit : 6 fois 9, 54, de 55 reste i et retiens 5 ; 6 fois 5,

S. et de C. — Arithm, 3

3o el 5, 35, de /\o reste 5 et retiens t\ ; 6 fois 8, 48 et 4, 52, de 59 reste 7.

59. Remarque. — En adoptant cette manière d'opérer, on peut faire l'essai d'un chiffre sans rien écrire. Ces essais se font à vue dans la pratique; il suffit, le plus souvent, de multiplier les deux premiers chiffres à gauche du diviseur par le chiffre essaye et de comparer le résultat avec les unités de même ordre contenues dans le dividende.

PRINCIPE SUR LEQUEL REPOSE LA DIVISION LORSQUE LE QUOTIENT A PLUSIEURS CHIFFRES.

60. Si l'on sépare, sur la gauche du dividende , assez de chiffres pour former un nombre qui contienne au moins une fois le diviseur et qui ne le contienne pas dix fois, le quotient de ce nombre, divisé par le diviseur, représente exactement le chiffre des plus hautes ujiités du quotient des nombres proposés.

Soil à diviser 590549 par 859. Le nombre 5905, séparé sur la gauche du dividende, renferme au moins une fois le diviseur sans le renfermer dix fois. Le dernier chiffre à droite de 5905 représentant des centaines dans le dividende, les plus liaules unités du quotient sont des centaines (55). En divisant 5905 par 859, d'après la règle précédente (57), on trouve 6 pour quotient. Il faut prouver que ce chiffre est exactement celui des centaines du quotient.

Or, puisqu'on peut retrancher de 5905 le produit de 859 par 6, on pourra retrancher de 690500 -+- 49> c'est-à-dire du dividende tout entier, le produit de 859 par 600. Donc le quotient cherché est au moins égal à 600.

D'autre part, puisqu'on ne peut pas retrancher de 6906 le produit de 859 par 7, on ne pourra retrancher de 690600 -t- 49, c'est-à-dire du dividende tout entier, le produit de 869 par 700. Donc le quotient cherché est moindre que 700.

Par suite, le quotient de la division de 690649 par 869, compris entre 600 et 700, renferme 6 centaines et n'en contient pas davantage; ce qui démontre le principe énoncé.